路径轨迹问题在近五年的成都中考中都占据了重要地位,都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查,重在考查对学生知识的应用能力.考查的基本类型有:利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长,这些问题大都利用数形结合、转化思想,将几何问题转化为代数问题进行求解。
1.轨迹问题分类:( 1)直线型;( 2)圆弧型.
2.破解轨迹问题的方法:路径虽是“隐性”的,但可用“三点”这“ X光”显其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状),五步解决问题.
具体五步是:
一画:画出动点的起点、过程点和终点.
二看:观察三点是否在一直线上.
三猜想:在一直线上是线段,不在一直线上是圆弧.
四验证:线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决;圆弧型常利用“对称性”和“ 90°的圆周角所对弦是直径”等知识确定圆心和半径.
五计算:常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解。
例 1问题情境:
如图 1, P是⊙ O外的一点,直线 PO分别交⊙ O于点 A, B,则 PA是点 P到⊙ O上的点的最短距离.
①探究:
请您结合图 2给予证明.
②归纳:
圆外一点到圆上各点的最短距离是:这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离.
③图中有圆,直接运用:
如图 3,在 Rt△ ABC中,∠ ACB= 90°, AC= BC= 2,以 BC为直径的半圆交 AB于点 D, P是弧 CD上的一个动点,连接 AP,则 AP的最小值是________.
④图中无圆,构造运用:
如图 4,在边长为 2的菱形 ABCD中∠ A= 60°, M是 AD边的中点, N是 AB边上一动点,将△ AMN沿 MN所在的直线翻折得到△ A′ MN,连接 A′ C,请求出 A′ C长度的最小值.
解:由折叠知 A′ M= AM,又因 M是 AD的中点,可得 MA= MA′= MD,故点 A′在以 AD为直径的圆上.如图 5,以点 M为圆心, MA为半径画⊙ M,过 M作 MH⊥ CD,垂足为 H,(请继续完成下列解题过程)
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⑤迁移拓展,深化运用:
如图 6, E, F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点,满足 AE= DF.连接 CF交 BD于点 G,连接 BE交 AG于点 H.若正方形的边长为 2,则线段 DH长度的最小值是________.
分析:①探究:在⊙ O上任取一点 C(不为点 A, B),连接 PC, OC,证得 PA< PC即可得到 PA是点 P到⊙ O上的点的最短距离;③图中有圆,直接运用:找到 BC的中点 E,连接 AE,交半圆于 P 2,在半圆上取 P 1,连接 AP 1, EP 1,可见, AP 1+ EP 1> AE,即 AP 2是 AP的最小值,再根据勾股定理求出 AE的长,然后减掉半径即可;
④图中无圆,构造运用:根据题意得 A′的位置,进而利用锐角三角函数关系求出 A′ C的长即可;
⑤迁移拓展,深化运用:根据正方形的性质可得 AB= AD= CD,∠ BAD=∠ CDA,∠ ADG=∠ CDG,然后利用“边角边”证明△ ABE和△ DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ ABE=∠ FCD,利用“ ASA”证明△ ADG和△ CDG全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ FCD=∠ GAD,从而得到∠ ABE=∠ GAD,然后求出∠ AHB= 90°,取 AB的中点 O,连接 OH, OD,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 OH= AB= 1,利用勾股定理列式求出 OD,然后根据三角形的三边 5关系可知当 O, D, H三点共线时, DH的长度最小.
【解】①如图 2,在⊙ O上任取一点 C(不为点 A, B),连接 PC, OC.
∵ PO< PC+ OC, PO= PA+ OA, OA= OC,
∴ PA< PC,
∴ PA是点 P到⊙ O上的点的最短距离.
③- 1
④∵ MA′是定值, A′ C长度取最小值时,即点 A′在 MC上.
∵菱形 ABCD边长为 2,∠ A= 60°, M为 AD中点,
∴ 2 MD= AD= CD= 2,∠ HDM= 60°.
∴∠ HMD= 30°,∴ HD= MD=
∴ HC=
∴ HM= DM× cos 30°=,
∴ MC=
∴ A′ C= MC- MA′=- 1.
⑤- 1
变式练习
1.如图,正三角形 ABC的边长为 2, D, E分别是边 AC, BC上的动点,且 AD= CE,连接 BD, AE交于点 G,则 CG的最小值为____.
答案: 2
2、如图,在等腰 Rt△ ABC中,∠ BAC= 90°, AB= AC, BC= 4,点 D是 AC边上一动点,连接 BD,以 AD为直径的圆交 BD于点 E,求线段 CE长度的最小值.
解:以 AB中点 O点为圆心画圆,连接 OC, AE, OC交圆 O于点 F,
如图.
由题可得∠ AED=∠ AEB= 90°,
∴点 E在以 AB中点 O为圆心的圆上(在△ ABC内部).
由题意得 AC= AB= 4,半径 OE= OA= 2,
∴由勾股定理得 OC= 2,
根据三角形三边的关系,
得 CE≥ OC- OE= 2- 2(取等号时非三角形),
∴当点 C, E, O三点共线时, CE最小,最小值为 2- 2.
例 2、如图,在 Rt△ ABC纸片中,∠ C= 90°, AC= BC= 4,点 P在 AC上运动,将纸片沿 PB折叠,得到点 C的对应点 D( P在 C点时,点 C的对应点是本身),则折叠过程对应点 D的路径长是________.
分析:∵∠ C= 90°, AC= BC,∴△ ABC是等腰直角三角形.如图,点 D的路径是以点 B为圆心,以 BC的长为半径的扇形,路径长== 2π.
答案: 2π
变式练习
3.长为 2米的木棒 AB斜靠在墙壁 AC上,∠ ABC= 60°,若 AB滑动至 DE位置,且 AD=米,问木棒 AB中点 O所经过的路径为___米.
答案:
4、如图,直线 y=- x+ 4与两坐标轴交 A, B两点,点 P为线段 OA上的动点,连接 BP,过点 A作 AM垂直于直线 BP,垂足为点 M,当点 P从点 O运动到点 A时,则点 M运动路径的长为___.
答案: