暑假快结束了,我们真的要进入初三的学习了。初三的学习生活,我们要过的“简单但不简约”。加油,初三!
今天我们来学习“动点的综合题”。
典型例题:
例 1、如图,在四边形 ABCD中, AD// BC, B= 90°, AB= 8, AD= 12, BC= 18,点 P从点 A出发以 2 cm/ s的速度沿 A-D-C运动,点 P从点 A出发的同时点 Q从点 C出发,以 1 cm/ s的速度向点 B运动,当点 P到达点 C时,点 Q也停止运动.设点 P, Q运动的时间为 t秒.
( 1)从运动开始,当 t取何值时, PQ// CD?
( 2)从运动开始,当 t取何值时, PQC为直角三角形?
分析:
( 1)已知 AD// BC,添加 PD= CQ即可判断以 PQDC为顶点的四边形是平行四边形;
( 2)点 P处可能为直角,点 Q处也可能是直角,而后求解即可.
解:
( 1)当 PQ// CD时,四边形 PDCB是平行四边形,
此时 PD= QC
所以 12-2 t= t
所以 t= 4
当 t= 4时,四边形 PQDC是平行四边形.
( 2)过 D点, DF垂直 BC于 F.
因为 DF= AB= 8,
所以 FC= 6, CD= 10
当 PQ垂直 BC时,
2 t+ t= 18
t= 6;
当 QP垂直 PC时,此时 P一定在 DC上,
CP= 22-2 t, CQ= t
所以
当 PC垂直 BC时,因 DCB< 90°,此种情况不存在。
变式练习:
1、如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD的顶点 A、 C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行.若甲的速度是乙的速度的 3倍,则它们第 2015次相遇在边____________上.
答案: AB
温馨提示:
此题是找规律,第一次相遇在 CD边上;第二次相遇在 AD边上;第三次相遇在 AB边上;第四次相遇在 BC边上;第五次相遇在 CD边上......
例 2、如图,已知正方形 ABCD的边长为 2, E是边 BC上的动点, BF AE交 CD于点 F,垂足为 G,连接 CG.下列说法:( 1) AG> GE;( 2) AE= BF;( 3)点 G运动的路径长为;( 4) CG的最小值为,其中正确的说法是__________________(把你认为正确的说法的序号都填上)
分析:根据正方形的性质可得然后利用全等三角形;
解:( 1) AGB= 90°不变,当 E移动到与 C重合时, F点和 D点重合,此时 G是 AC的中点,所以 AG= GE,故( 1)错误;
( 2)易证明,故( 2)正确;
( 3)点 G运动的轨迹为圆,所有圆弧的长=,故( 3)错误;
( 4)由于 OC与 OG的长度是一定的,因此当 O、 G、 C在同一直线上时, CG取最小值. CG的最小值为 OC-OG=.
正确的结论为:( 2)( 4).
变式练习:
2、如图,在 ABC中, ACB= 90°, AB= 5, BC= 3, P是 AB边上的动点(不与点 B重合),将 BCP沿 CP所在的直线翻折,得到 B’ CP,连接 B’ A,则 B’ A长度的最小值是_______.
答案:
提示:当 A、 B’、 C三点在同一直线上时, AB’有最小值,
所以 AB’= AC-B’ C= 1
故答案为 1.
例 3、等腰 ABC的直角边 AB= BC= 10 cm,点 P、 Q分别从 A、 C两点同时出发,均以 1 cm/ s的相同速度做直线运动,已知点 P沿射线 AB运动,点 Q沿边 BC的延长线运动, PQ与直线 AC相交于点 D.设点 P运动时间为 t, PCQ的面积为 S.
( 1)求出 S与 t的函数关系式;
( 2)当点 P运动几秒时,?
( 3)作 PE AC于点 E,当点 P、 Q运动时,线段 DE的长度是否改变?证明你的结论?
分析:
由题可以看出 P沿 AB向右运动, Q沿 BC向上运动,且速度都为 1 cm/ s, S= QC乘以 PB,所以求出 QC、 PB与 t的关系就可得出 S与 t的关系,另外应注意 P点的运动轨迹,它不仅在 B点左侧运动,达到一定时间后运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分类回答.
解:
( 1)当 t< 10秒时,点 P在线段 AB上,此时 CQ= t, PB= 10 - t.
所以 S=
当 t> 10秒时,点 P在线段 AB的延长线上,此时 CQ= t, PB= t -10.
所以 S=
( 2)因为 ABC的面积为 50.
当 t< 10时,= 50.
无实数解
当 t> 10时,= 50
解得 t=(负根舍去)
当 t=时,
( 3)
当 P、 Q运动时,线段 DE的长度不会改变.
理由如下:
过点 Q作 QM AC,交直线 AC于点 M,
易证 APE QCM
所以 AE= PE= CM= QM=.
所以四边形 PEQM是平行四边形,且 DE是对角线 EM的一半.
又因为 EM= AC=,
所以 DE= 5,
当 P、 Q运动时,线段 DE的长度不会改变.
变式练习:
3、如图,在 ABC中, AB= BC= 4, AO= BO, P是射线 CO上的一个动点, AOC= 60°,则当 PAB为直角三角形时, AP的长为________________
温馨提示:
三种情况分类讨论
答案:
或 2或