一、求被除数类
1. 同余加余，同差减差
例 1.某数被 7除余 6，被 5除余 3，被 3除余 3，求此数最小是多少?
解：因为“被 5除余 3，被 3除余 3”中余数相同，即都是 3(同余)，所以要先求满足 5和 3的最小数，[ 5、 3]= 15，
15+ 3= 18，
18÷ 7= 2…… 4不余 6，(不对)
15× 2= 30
( 30+ 3)÷ 7= 4…… 5不余 6(不对)
( 15× 3+ 3)÷ 7= 6…… 6(对)
所以满足条件的最小数是 48。
例 2.某数被 3除余 2，被 5除余 4，被 7除余 5，这个数最小是多少?
解：因为“被 3除余 2，被 5除余 4”中都差 1就可整除，即同差，所以要先满足 5和 3的最小数，[ 5、 3]= 15，
15-1= 14，
14÷ 7= 2…… 0不余 5(不对)
( 15× 6-1)÷ 7= 12…… 5
所以满足条件的最小数是 89。
例 3.一个四位数，它被 131除余 112，被 132除余 98，求这个四位数?
解：除数相差 132-131= 1，余数相差 112-98= 14，说明这个四位数中有 14个 131还余 112。所以 131× 14+ 112= 1946。
二、求除数类
1.若 a÷ c=…… r; b÷ c=…… r.则 cㄏ( a-b)。
1.一个数去除 551， 745， 1133这 3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几
解： 745-551= 194， 1133-745= 388。( 194， 388)= 194，所以这个数最大是 194。
2.若 a÷ c=…… r 1; b÷ c=…… r 2， r 1+ r 2= d.则 cㄏ( a+ b-d)。
例 2.有一个整数，用它分别去除 157， 234和 324，得到的三个余数之和是 100。求这个整数
解： 157+ 324+ 234-100= 615， 615= 3× 5× 41。 100÷ 3= 33…… 1，即最小的除数应大于 34，小于 157。所以满足条件的有 41、 123两个，经过验算可知正确答案为 41。
求余数类
例 1.已知整数 n除以 42余 12，求 n除余 21的余数?
解：由已知条件可知， n= 42的倍数+ 12= 21的 2倍的倍数+ 12。所以， n除以 21的余数为 12。
例 2.有一个整数，除 1200， 1314， 1048所得的余数都相同且大于 5。问：这个相同的余数是多少
解：因为
1314-1200= 114= 3× 38，
1200-1048= 152= 4× 38。
某自然数应当是这两个差的公约数，即 38。又因为
1200÷ 38= 31(余 22)
1314÷ 38= 34(余 22)。
所以，这个相同的余数是 22。
例 3.求 19901990除以 3所得的余数?
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被 3除余 1，即 19901990≡ 11990≡ 1，
所以 19901990除以 3所得的余数为 1。
例 4.有一个 77位数，它的各位数字都是 1，这个数除以 7，余数是多少?
解：根据被 7整除的特征知， 111111能被 7整除。
77÷ 6= 12(余 5)，
11111÷ 7= 1587(余 2)。
以，这个数除以 7的余数是 2。
例 5.1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，……， 90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这 90个数的和除以 5的余数是多少?
解：这一列数被 5除的余数依次为 1， 1， 2， 3， 0， 3， 3， 1， 4， ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12， ANOAHDIGITAL 13， ANOAHDIGITAL 14， ANOAHDIGITAL 15， ANOAHDIGITAL 16， ANOAHDIGITAL 17， ANOAHDIGITAL 18， ANOAHDIGITAL 19， ANOAHDIGITAL 20，……。
余数从头起 20个数一个周期循环出现，而且这 20个数的和 40又恰为 5的倍数。
90÷ 20= 4(余 10)
列数中前 10个数的余数和为
1+ 1+ 2+ 3+ 0+ 3+ 3+ 1+ 4+ 0= ANOAHDIGITAL 10
18÷ 5= 3(余 3)
所以，这 90个数的和除以 5的余数为 3。
练习题：
1. 一个三位数被 37除余 17，被 36除余 3，那么这个三位数是多少?
2. 已知整数 n除以 3余 2，求 n除以 12的余数?
3. 某数除以 13余 5，除以 17余 8，除以 21余 4，求此数最小是多少?
4. 号码分别为 101， 126， 173， 193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘
5. 求 21000除以 13的余数是多少?
6. 当 n是 1到 1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从 1到 9的一位数为止(例如： 468→ 18→ 9)。问在 1到 1992这 1992个自然数经过上述方法处理后所得的 1992个一位数中， 3多还是 4多?多几个
7. 由 2000个 2组成的数除以 13，所得的余数是几?
