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数论综合
【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题
1.如果把任意 n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能,那么 n是多少?
【分析与解】我们知道如果有 5个连
续的自然数,因为其内必有 2的倍数,也有 5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是 0。
所以 n小于 5.
第一种情况:当 n为 4时,如果其内含有 5的倍数(个位数字为 O或 5),显然其内含有 2的倍数,那么它们乘积的个位数字为 0;
如果不含有 5的倍数,则这 4个连续的个位数字只能是 1, 2, 3, 4或 6, 7, 8, 9;它们的积的个位数字都是 ANOAHDIGITAL 10;
所以,当 n为 4时,任意 4个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两科可能.
第二种情况:当 n为 3时,有 1× 2× 3的个位数字为 6, 2× 3× 4的个位数字为 4, 3× ANOAHDIGITAL 10× ANOAHDIGITAL 11的个位数字为 ANOAHDIGITAL 12,……,不满足.
第三种情况:当 n为 2时,有 1× 2, 2× 3, 3× 4, 4× 5的个位数字分别为 2, ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12,显然不满足.
至于 n取 1显然不满足了.
所以满足条件的 n是 4.
2.如果四个两位质数 a, b, c, d两两不同,并且满足,等式 a+ b= c+ d.那么,
( 1) a+ b的最小可能值是多少?
( 2) a+ b的最大可能值是多少?
【分析与解】两位的质数有 11, 13, 17, 19, 23, 29, 3 l, 37, 41, 43, ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12, ANOAHDIGITAL 13 l,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
可得出,最小为 11+ 19= 13+ 17= 30,最大为 97+ 71= 89+ 79= 168.
所以满足条件的 a+ b最小可能值为 30,最大可能值为 168.
3.如果某整数同时具备如下 3条性质:
①这个数与 1的差是质数;
②这个数除以 2所得的商也是质数;
③这个数除以 9所得的余数是 5.
那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数
【分析与解】条件①也就是这个数与 1的差是 2或奇数,这个数只能是 3或者偶数,再根据条件③,除以 9余 5,在两位的偶数中只有 14, 32, 50, 68, 86这 ANOAHDIGITAL 10个数满足条件.
其中 86与 50不符合①, 32与 68不符合②,三个条件都符合的只有 14.
所以两位幸运数只有 14.
4.在 555555的约数中,最大的三位数是多少?
【分析与解】 555555= 5× 111× 1001
= 3× 5× 7× 11× 13× 37
显然其最大的三位数约数为 777.
5.从一张长 2002毫米,宽 847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米
【分析与解】从长 2002毫米、宽 847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为 847毫米的正方形,这样的正方形的个数恰好是 2002除以 847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽,于是有: 2002÷ 847= 2…… 308, 847÷ ANOAHDIGITAL 10= ANOAHDIGITAL 11…… ANOAHDIGITAL 12, ANOAHDIGITAL 13÷ ANOAHDIGITAL 14= ANOAHDIGITAL 15…… ANOAHDIGITAL 16÷ ANOAHDIGITAL 17= ANOAHDIGITAL 18.
不难得知,最后剪去的正方形边长为 77毫米.