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1.把 1至 2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789..... 2005,这个多位数除以 9余数是多少?
解:
首先研究能被 9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能被 9整除,那么这个数也能被 9整除;如果各个位数字之和不能被 9整除,那么得的余数就是这个数除以 9得的余数。
解题: 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45; ANOAHDIGITAL 10能被 ANOAHDIGITAL 11整除
依次类推: 1~ 1999这些数的个位上的数字之和可以被 9整除 10~ 19, 20~ 29…… 90~ 99这些数中十位上的数字都出现了 10次,那么十位上的数字之和就是 ANOAHDIGITAL 10+ ANOAHDIGITAL 11+ ANOAHDIGITAL 12+……+ ANOAHDIGITAL 13= ANOAHDIGITAL 14它有能被 ANOAHDIGITAL 15整除
同样的道理, 100~ 900百位上的数字之和为 4500同样被 9整除
也就是说 1~ 999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9整除;
同样的道理: 1000~ 1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被 9整除(这里千位上的“ 1”还没考虑,同时这里我们少 200020012002200320042005
从 1000~ 1999千位上一共 999个“ 1”的和是 999,也能整除;
200020012002200320042005的各位数字之和是 27,也刚好整除。
最后答案为余数为 0。
2. A和 B是小于 100的两个非零的不同自然数。求 A+ B分之 A-B的最大值...
解:
( A-B)/( A+ B)=( A+ B - 2 B)/( A+ B)= 1 - 2* B/( A+ B)
前面的 1不会变了,只需求后面的最小值,此时( A-B)/( A+ B)最大。
对于 B/( A+ B)取最小时,( A+ B)/ B取最大,
问题转化为求( A+ B)/ B的最大值。
( A+ B)/ B= 1+ A/ B,最大的可能性是 A/ B= 99/1
( A+ B)/ B= 100
A-B)/( A+ B)的最大值是: 98/ 100
3.已知 A. B. C都是非 0自然数, A /2+ B /4+ C /16的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少?
答案为 6.375或 6.4375
因为 A /2+ B /4+ C /16= 8 A+ 4 B+ C /16≈ 6.4,
所以 8 A+ 4 B+ C≈ 102.4,由于 A、 B、 C为非 0自然数,因此 8 A+ 4 B+ C为一个整数,可能是 102,也有可能是 103。
当是 102时, 102/16= 6.375
当是 103时, 103/16= 6.4375
4.一个三位数的各位数字之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大 198,求原数.
答案为 476
解:设原数个位为 a,则十位为 a+ 1,百位为 16-2 a
根据题意列方程 100 a+ 10 a+ 16-2 a- 100( 16-2 a) -10 a-a= 198
解得 a= 6,则 a+ 1= 7 16-2 a= 4
答:原数为 476。
5.一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7倍多 24,求原来的两位数.
答案为 24
解:设该两位数为 a,则该三位数为 300+ a
7 a+ 24= 300+ a
a= 24
答:该两位数为 24。
6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为 121
它们的和就是 10 a+ b+ 10 b+ a= 11( a+ b)
因为这个和是一个平方数,可以确定 a+ b= 11
因此这个和就是 11× 11= 121
答:它们的和为 121。
7.一个六位数的末位数字是 2,如果把 2移到首位,原数就是新数的 3倍,求原数.
答案为 85714
解:设原六位数为 abcde 2,则新六位数为 2 abcde(字母上无法加横线,请将整个看成一个六位数)
再设 abcde(五位数)为 x,则原六位数就是 10 x+ 2,新六位数就是 200000+ x
根据题意得,( 200000+ x)× 3= 10 x+ 2
解得 x= 85714
所以原数就是 857142
答:原数为 857142
8.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加 2376,求原数.
答案为 3963
解:设原四位数为 abcd,则新数为 cdab,且 d+ b= 12, a+ c= 9
根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+ 2376= cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据 d+ b= 12,可知 d、 b可能是 3、 9; 4、 8; 5、 7; 6、 6。
再观察竖式中的个位,便可以知道只有当 d= 3, b= 9;或 d= 8, b= 4时成立。
先取 d= 3, b= 9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。
根据 a+ c= 9,可知 a、 c可能是 1、 8; 2、 7; 3、 6; 4、 5。
再观察竖式中的十位,便可知只有当 c= 6, a= 3时成立。
再代入竖式的千位,成立。
得到: abcd= 3963
再取 d= 8, b= 4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的数,所以不成立。
9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5余数为 3,求这个两位数.
解:设这个两位数为 ab
10 a+ b= 9 b+ 6
10 a+ b= 5( a+ b)+ 3
化简得到一样: 5 a+ 4 b= 3
由于 a、 b均为一位整数
得到 a= 3或 7, b= 3或 8
原数为 33或 78均可以
10.如果现在是上午的 10点 21分,那么在经过 28799... 99(一共有 20个 9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是 10: 20
解:
( 28799…… 9( 20个 9)+ 1) /60/24整除,表示正好过了整数天,时间仍然还是 10: 21,因为事先计算时加了 1分钟,所以现在时间是 10: ANOAHDIGITAL 10