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相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例 1南京到上海的水路长 392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行 28千米,从上海开出的船每小时行 21千米,经过几小时两船相遇?
解 392÷( 28+ 21)= 8(小时)
答:经过 8小时两船相遇。
例 2小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑 5米,小刘每秒钟跑 3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为 400× 2
相遇时间=( 400× 2)÷( 5+ 3)= 100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需 100秒时间。
例 3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行 15千米,乙每小时行 13千米,两人在距中点 3千米处相遇,求两地的距离。
解“两人在距中点 3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点 3千米,乙距中点 3千米,就是说甲比乙多走的路程是( 3× 2)千米,因此,
相遇时间=( 3× 2)÷( 15- 13)= 3(小时)
两地距离=( 15+ 13)× 3= 84(千米)
答:两地距离是 84千米。
追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例 1好马每天走 120千米,劣马每天走 75千米,劣马先走 12天,好马几天能追上劣马?
解( 1)劣马先走 12天能走多少千米? 75× 12= 900(千米)
( 2)好马几天追上劣马? 900÷( 120- 75)= 20(天)
列成综合算式 75× 12÷( 120- 75)= 900÷ 45= 20(天)
答:好马 20天能追上劣马。
例 2小明和小亮在 200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用 40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500米,求小亮的速度是每秒多少米。
解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即 200米,此时小亮跑了( 500- 200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑 500米所用的时间。又知小明跑 200米用 40秒,则跑 500米用[ 40×( 500÷ 200)]秒,所以小亮的速度是
( 500- 200)÷[ 40×( 500÷ 200)]= 300÷ 100= 3(米)
答:小亮的速度是每秒 3米。
例 3我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午 16点开始从甲地以每小时 10千米的速度逃跑,解放军在晚上 22点接到命令,以每小时 30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?
解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是( 22- 16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[ 10×( 22- 16)]千米,甲乙两地相距 60千米。由此推知
追及时间=[ 10×( 22- 16)+ 60]÷( 30- 10)= 120÷ 20= 6(小时)
答:解放军在 6小时后可以追上敌人。
例 4一辆客车从甲站开往乙站,每小时行 48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行 40千米,两车在距两站中点 16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车( 16× 2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为 16× 2÷( 48- 40)= 4(小时)
所以两站间的距离为( 48+ 40)× 4= 352(千米)
列成综合算式( 48+ 40)×[ 16× 2÷( 48- 40)]= 88× 4= 352(千米)
答:甲乙两站的距离是 352千米。
例 5兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走 90米,妹妹每分钟走 60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校 180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?
解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走( 180× 2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走( 90- 60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180× 2÷( 90- 60)= 12(分钟)
家离学校的距离为 90× 12- 180= 900(米)
答:家离学校有 900米远。