角:刚才听到边说大话,说什么“边一出手,平行四边形立刻有”,请边用你的三个绝招解决一下下面的问题。
例( 2015年黑龙江省哈尔滨市中考试题)如图 1,在□ ABCD中,点 O是对角线 AC的中点, EF过点 O,与 AD, BC分别相交于点 E, F, GH过点 O,与 AB, CD分别相交于点 G, H,连接 EG, FG, FH, EH.求证:四边形 EGFH是平行四边形.
对角线:相信同学们也看出来了,这道问题用边的三种判定方法,无法判定出四边形 EGFH是平行四边形. 下面,我就给大家展示一下,利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定一个四边形为平行四边形。
证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴ AD∥ BC。∴∠ EAO=∠ FCO.
在△ OAE与△ OCF中
∠ EAO=∠ FCO,∠ AOE=∠ COF, OA= OC,
∴△ OAE≌△ OCF。∴ OE= OF.
同理 OG= OH.
∴四边形 EGFH是平行四边形.
边:两位弟弟,我知道错了,我不应该说大话。我请求你们的谅解。我们兄弟三人携手为同学们服务。
角:呵呵,好的。下面送给大家一道开放题,供同学们学习时参考
例 2.如图 2,在四边形 ABCD中, AB∥ CD,请你添加一个条件,使得四边形 ABCD成为平行四边形,你添加的条件是 .
解:添加的条件不唯一,如: AB= CD或 AD∥ BC或∠ A=∠ C或∠ B=∠ D或∠ A+∠ B= 180°或∠ C+∠ D= 180°.
现在以添加∠ A=∠ C为例,加以证明。
证明:在四边形 ABCD中,∵ AB∥ CD,
∴∠ A+∠ D= 180°,∠ B+∠ C= 180°。
∴∠ B= 180° -∠ C,∠ D= 180° -∠ A。
又∵∠ A=∠ C,∴∠ B=∠ D.
∴四边形是平行四边形.
小试身手:
( 2015年黑龙江省牡丹江市中考试题)如图,四边形 ABCD的对角线相交于点 O, AO= CO,请添加一个条件(只添一个即可),使四边形 ABCD是平行四边形.
参考答案:
答案不唯一,如:添加 BO= DO。
提示:∵ AO= CO, BO= DO,∴四边形 ABCD是平行四边形.