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扶梯问题

与流水行船不同的是,自动扶梯上的行走速度有两种度量,一种是“单位时间运动了多少米”,一种是“单位时间走了多少级台阶”,这两种速度看似形同,实则不等,拿流水行船问题作比较,“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺(逆)水速度”,而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”,一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度,即“单位时间走了多少级台阶”,所以处理数量关系的时候要非常小心,理清了各种数量关系,自动扶梯上的行程问题会变得非常简单。

例题 1:小偷与警察相隔 30秒先后逆向跑上一自动扶梯,小偷每秒可跨越 3级阶梯,警察每秒可跨越 4级阶梯。已知该自动扶梯共有 150级阶梯,每秒运行 1.5级阶梯,问警察能否在自动扶梯上抓住小偷?答:_____。

分析:全部以地板为参照物,那么小偷速度为每秒 1.5级阶梯,警察速度为每秒 2.5级阶梯。警察跑上电梯时相距小偷 1.5× 3045级阶梯,警察追上小偷需要 45秒,在这 45秒内,小偷可以跑上 1.5× 4567.5级阶梯,那么追上小偷后,小偷在第 112~第 113级阶梯之间,没有超过 ANOAHDIGITAL 10,所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。

例题 2:在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼,并在上向上走,同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时,甲反身向下走,结果他一共走了 60级,如果他一直走到顶端再反身向下走,则一共要走 80级,那么,自动扶梯不动时从下到上要走多少级?

分析:向上走速度为甲和自动扶梯的速度和,向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。

当甲乙处于同一高度时,甲反身向下走,结果他一共走了 60级,如果他一直走到顶端再反身向下走,则一共要走 80级, 60÷ 80= 3/4,这说明甲乙处于同一高度时,甲的高度是两层总高度的 3/4

则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是 3/4:( 1-3/4)= 31,即甲的速度与自动扶梯速度之比 21,甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的 1/3,所用时间为向上走的 3倍,则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的 3倍.因此甲向上走了 80÷( 3+ 1)= 20级台阶。甲的速度与自动扶梯速度之比 21,甲走 20级台阶的同时自动扶梯向上移动了 10级台阶,因此如果自动扶梯不动,甲从下到上要走 20+ 10= 30级台阶。

例题 3:商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上上下走动,女孩由下往上走,男孩由上往下走,结果女孩走了 40级到达楼上,男孩走了 80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有多少级?

分析:因为男孩的速度是女孩的 2倍,所以男孩走 80级到达楼下与女孩走 40级到达楼上所用时间相同,在这段时间中,自动扶梯向上运行了( 80-40)÷ 220(级)所以扶梯可见部分有 80-2060(级)。