7.3平面向量的数量积及其应用
考点一 平面向量的数量积
1.( 2013湖北理, 6)已知点、、、,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
【解析】 A先求出向量的坐标,再根据投影的定义进行计算。
由已知得,,因此在方向上的投影为,故选 A。
2.( 2013江西理, 12)设,为单位向量。且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 ____________
【思路点拨】本题主要考查向量的投影,向量的数量积运算
【答案】 【解析】向量在向量方向上的投影,
【本题点评】向量在方向上的投影为,不要记成;另外,注意运算不要出错
3.( 2013新课标Ⅰ卷理科, 13)已知两个单位向量 a, b的夹角为 60°, c= ta+( 1- t) b,若 b· c= 0,则 t=_____.
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积,意在考查学生的运算能力本题中用 a, b来表示 b· c= 0即可求出.
【答案】 2【解析】===== 0,解得=.
【本题点评】解决由向量的数量积求参数的问题时,可以充分利用题目中的条件,将 b· c= 0用 a, b来表示.
4.( 2013新课标Ⅱ卷理, 13)已知正方形 ABCD的边长为 2, E为 CD的中点,则 =_______
【思路点拨】本题主要考查了平面向量的数量积,属于基本题目,可以建立平面坐标系,用向量的坐标求出
【答案】 2【解析】
【本题点评】 本题由于是正方形,故通过建立坐标即可求出相应的数量积
考点二 平面向量的夹角、长度
1.( 2013浙江理, 7)设△ ABC, P0是边 AB上一定点,满足 P0 B= AB,且对于 AB上任一点 P,恒有,则( )
A.∠ ABC= 90° B.∠ BAC= 90° C. AB= AC D. AC= BC
【解析】 D【解答】
2.( 2013湖南卷, 6)已知是单位向量, 若向量满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 A本小题考查的是单位向量与向量垂直及向量模的有关运算
方法一:(几何法)可以设,由于是单位向量,且,则,将向量与的起点放在同一位置 A,则由可知,,所以向量的终点在以向量的终点 D为圆心,以 1为半径的圆上,所以的取值范围是.
方法二:(代数法)由于是单位向量,且,由向量坐标的定义可设,由于,由向量的坐标运算可知,
所以,也就是以( 1, 1)为圆心,以 1为半径的圆;而表示的是圆上的点到坐标原点的距离,所以的取值范围是
3.( 2013山东理, 15)已知向量与的夹角为,且若且,则实数的值为____________
【思路点拨】 本题主要考查了向量的夹角、数量积及向量的垂直的条件等,在解决此题时充分利用条件,代入是解题的关键
【答案】 【解析】向量与的夹角为,且所以由得,,即,所以,即,解得.
【本题点评】本题考查的知识很全面,充分利用向量的夹角、数量积等知识,两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为 0,利用这个条件列方程或者方程组,进而确定参数的值.
4.( 2013.重庆理, 10分)在平面上,,,若,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【解析】 D本题考查了平面向量的加法、平面向量的数量积运算、平面向量的坐标表示及运算、平面向量的基本定理.方法一:∵,可知点构成平行四边形,又∵,可得平行四边形为矩形
以所以直线为坐标轴建立直角坐标系,设,点 O的坐标为,则点 P的坐标为,由得.
又,得,由基本不等式可得(当且仅当 a= x时等号成立),∴,整理得;
同理由,得,即有 ①.
又由,得,
整理得,即 ②
由①②知,所以.
而,所以,故选 D.
方法二:(基本思路:用向量表示条件中向量)
∵,
∴
∵,,即.
∵,∴
.
∵,∴,∴,
∴,即.