等腰三角形这个大家庭中,还有许多特殊的成员,例如:等腰直角三角形,等边三角形,等等。今天我们来研究一下等边三角形的经典例题。当同学们看过文章后,肯定能够解决不少的疑问。
经典例题
例 1、( 2009•攀枝花)如图所示,在等边△ ABC中,点 D、 E分别在边 BC、 AB上,且 BD= AE, AD与 CE交于点 F,则∠ DFC的度数为()
分析:∠ DFC的度数与已知条件似乎没什么关系,但再仔细看看,能发现△ ABD≌△ CAE,得到∠ BAD=∠ ACE,再根据三角形内角和定理求得∠ DFC的度数.
解:
∵△ ABC为等边三角形
∴∠ BAC=∠ B=∠ BCA= 60°
∴ AB= BC= AC
在△ ABD和△ CAE中
BD= AE,∠ ABD=∠ CAE, AB= AC
∴△ ABD≌△ CAE
∴∠ BAD=∠ ACE
又∵∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC= 60°
∴∠ ACE+∠ DAC= 60
∵∠ ACE+∠ DAC+∠ AFC= 180°
∴∠ AFC= 120
∵∠ AFC+∠ DFC= 180
∴∠ DFC= 60°.
例 2、( 2006•天津)如图, A、 C、 B三点在同一条直线上,△ DAC和△ EBC都是等边三角形, AE、 BD分别与 CD、 CE交于点 M、 N,有如下结论:①△ ACE≌△ DCB;② CM= CN;③ AC= DN.其中正确结论是()
分析:根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行判断。
解
∵⊿ ADC和⊿ BCE是等边三角形
∴ AC= CD, CE= BC,∠ ACD=∠ ECB= 60°
∴∠ ACD+∠ DCE=∠ ECB+∠ DCE
∴∠ ACE=∠ DCB
∴△ ACE≌△ DCB( SAS)(①正确)
∴∠ AEC=∠ DBC
∵∠ DCE+∠ ACD+∠ ECB= 180°,∠ ACD=∠ ECB= 60°
∴∠ DCE=∠ ECB= 60°
∵ CE= BC,∠ DCE=∠ ECB= 60°,∠ AEC=∠ DBC
∴△ EMC≌△ BNC( ASA)
∴ CM= CN(②正确)
∵ AC= DC在△ DNC中, DC所对的角为∠ DNC=∠ NCB+∠ NBC= 60°+∠ NBC> 60°,而 DN所对的角为 60°,根据三角形中等边对等角、大边对大角,小边对小角的规律,则 DC> DN,即是 AC> DN,所以③错误。
所以正确的结论是①②
例 3、( 2005•郴州)附加题:下图是由九个等边三角形组成的一个六边形,当最小的等边三角形边长为 2 cm时,这个六边形的周长为() cm.
分析:每个三角形都是等边的,从其中一个三角形入手,比右下角的以 AB为边的三角形,设它的边长为 x,则等边三角形的边长依次为 x, x+ x+ 2, x+ 2, x+ 2× 2, x+ 2× 2, x+ 3× 2.
∴六边形周长是 2 x+ 2( x+ 2)+ 2( x+ 2× 2)+( x+ 3× 2)= 7 x+ 18,而最大的三角形的边长 AF等于 AB的 ANOAHDIGITAL 10倍,所以可以求出 x,则可求得周长.
解:设 AB= x
∴等边三角形的边长依次为 x, x+ x+ 2, x+ 2, x+ 2× 2, x+ 2× 2, x+ 3× 2,
∴六边形周长是 2 x+ 2( x+ 2)+ 2( x+ 2× 2)+( x+ 3× 2)= 7 x+ 18,
∵ AF= 2 AB,即 x+ 6= 2 x,
∴ x= 6 cm,
∴周长为 7 x+ 18= 60 cm.
自我测评:
如图,在△ ABC中, D、 E在 BC上,且 BD= DE= AD= AE= EC,则∠ BAC的度数是()
答案: 120度