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探索题是培养发散思维能力一种题型,它具有开放性,所要得出的答案一般不具有惟一性.解决探索性问题,不仅能提高分析问题的能力,而且能开阔视野,增加对知识的理解和掌握.现就有关相交线、平行线有关的探索性试题例析如下.
一、探索条件
例 1、如图 1,请给出一个使 OE⊥ OC成立的条件:_________.
分析:本题是一道条件开放性试题,使 OE⊥ 0 C条件较多,根据垂直的意义,可添∠ 2+∠ 3= 90°,根据互为余角之间的关系,可以添加 OD⊥ AB,∠ 1=∠ 3,或 OD⊥ AB,∠ 2=∠ 4,也可以添加∠ 1+∠ 4= ANOAHDIGITAL 10°等.
例 2、如图 2,直线 a、 b与直线 c相交,形成∠ 1、∠ 2、…,∠ 8共八个角,请你填上你认为适当的一个条件:______,使 a// b.
分析:本题只要是考查平行线的三种识别方法.
( 1)从“同位角相等,两直线平行”考虑,可填∠ 1=∠ 5,∠ 2=∠ 6,∠ 3=∠ 7,∠ 4=∠ 8中的任意一个条件;
( 2)从“内错角相等,两直线平行”考虑,可填∠ 3=∠ 6,∠ 4=∠ 5中的任意一个;
( 3)从“同旁内角互补,两直线平行”考虑,可填∠ 3+∠ 5= 180°,∠ 4+∠ 6= 180°中的一个条件.
( 4)从其他方面考虑,也可填∠ 1=∠ 8,∠ 2=∠ 7,∠ 1+∠ 7= 180°,∠ 2+∠ 8= ANOAHDIGITAL 10°,∠ ANOAHDIGITAL 11+∠ ANOAHDIGITAL 12= ANOAHDIGITAL 13,∠ ANOAHDIGITAL 14+∠ ANOAHDIGITAL 15= ANOAHDIGITAL 16°,∠ ANOAHDIGITAL 17+∠ ANOAHDIGITAL 18= ANOAHDIGITAL 19°,∠ ANOAHDIGITAL 20+∠ ANOAHDIGITAL 21= ANOAHDIGITAL 22°中的任意一个条件.
例 3、如图 3, AB与 CD相交于点 0,并且∠ C=∠ 1,试问∠ 2与∠ D满足什么关系时, AC// BD?
分析:本题是一道条件探索题.要使 AC// BD,可根据两直线平行的条件,需要满足∠ C=∠ D,由于∠ 1=∠ C,∠ 1=∠ 2.所以只需∠ 2=∠ D.
解:当∠ 2=∠ D时, AC// BD.
因为∠ C=∠ 1,∠ 1=∠ 2,又∠ 2=∠ D,所以∠ C=∠ D
根据内错角相等,两直线平行,得 AC// BD.
二、探索结论
例 3、如图 4, AB与 CD相交于点 F, EF⊥ CD,则∠ AFE与∠ DFB之间的关系是________.
分析:由所给的条件 EF⊥ CD,得∠ EFC= 90°,也就是∠ AFC+∠ AFE= 90°,
又根据对顶角相等,得∠ AFC=∠ DFB,
所以∠ AFE+∠ DFB= 90°,
即∠ AFE与∠ DFB互为余角.
三、探索作图方法
例 4、如图 5,过已知直线 AB外一点 C,作直线 CD,使 CD// AB,你能想到几种画法?
分析:本题考查平行线的特征及判断.重点考查大家的动手操作能力.
本题的画法较多,如:
作法 1.根据“同位角相等,两直线平行”
( 1)过点 C画直线 EF,交 AB与 G;( 2)作∠ ECD=∠ EGA,
则直线 DC即为所求的直线.如图 6.
作法 2.根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”.
( 1)过点 C作 CG⊥ AB,垂足为 G,
( 2)过点 C作直线 CD⊥ CG.
则直线 CD就是所求作的直线.如图 7.