问题 1怎样应用三角形的三内角的和定理求未知角？如果所求的角是三角形的一个内角，
那么
（１）已知其余两个角分别是多少，就可以求出这个角；
（２）已知一个角，并且已知所求角和另一个角的关系就可以求出这个角．
例、在△ ABC中，∠ A＝ 60°，∠ B比∠ C大 10°，求∠ C．
解：据题意，∠ B＝∠ C＋ 10°，于是
∵∠ A＋∠ B＋∠ C＝ 180°，
∴ 60°＋∠ C＋ 10°＋∠ C＝ 180°
解关于∠ C的方程，得 2∠ C＝ 110°，
∴∠ C＝ 55°．
问题 2：如图，线段 AD， BC交于 Q， OD平分∠ CDA交 BC于 H， OB平分∠ ABC平 AD于 G，求．
分析充分观察图形，合理利用各角之间的关系是解决本题关键，图中众多三角形中，找出与∠ O，∠ A，∠ C相关三角形很重要．
解在△ CHD和△ OHB中，
∠ C+∠ 4=∠ O+∠ 2①
在△ OGD和△ AGB中，
∠ A+∠ 1=∠ O+∠ 3②
①+②∠ A+∠ C+∠ 1+∠ 4= 2∠ O+∠ 2+∠ 3
∵∠ 1=∠ 2∠ 3=∠ 4∴∠ A+∠ C= 2∠ O
问题 3：如图△ ABC的三条角平分线 AD， BE， CF交于一点 O， OG⊥ BC于 G．求证：∠ BOD=∠ COG．
分析本题可考虑到 O为∠ BAC和∠ ABC的角平分线交点∠ AOB= 90°+
∠ ACB，再利用直角三角两锐角互余，在 Rt△ OGC中，用∠ OCG表示∠ GOC．
证∵ O为三内角平分线交点
∴∠ AOB= 180°－(∠ ABC+∠ BAC)= 90°+∠ ACB,
∠ BOD= 180° -∠ AOB= 90°－∠ ACB= 90° -∠ OCD
∵ OG⊥ BC于 G∴∠ GOC= 90° -∠ OCD∴∠ BOD= COG．
问题 4：△ ABC中，三内角度数均为整数，∠ A＜∠ B＜∠ C,且 4∠ C= 7∠ A，求∠ B的度数．
分析利用 4∠ C= 7∠ A∴∠ A∶∠ C= 4∶ 7
设∠ A= 4 k，∠ C= 7 k( k为正整数)∴∠ B= 180° -11 k．
又∵∠ A＜∠ B＜∠ C∴ 4 k＜ 180° -11 k＜ 7 k
解得 10°＜ k＜ 12°又 k为正整数∴ k= 11°
∴∠ B= 180° -11× 11°= 59°
问题 5：△ ABC三内角比为 2∶ 3∶ 4，求三外角的比．
分析不妨设∠ A∶∠ B∶∠ C= 2∶ 3∶ 4,对应的三个角角为α、β、γ，本题可利用内角和公式及已知求出各内角，再求出相应的外角，最后求此，亦可利用外角等于不相邻内角和，不求出具体角度来求出比．
解一∵∠ A∶∠ B∶∠ C= 2∶ 3∶ 4∠ A+∠ B+∠ C= 180°
∴∠ A= 40°∠ B= 60°∠ C= 80°
α= 140°β= 120°γ= 100°
∴α：β：γ= 7∶ 6∶ 5．
解二∵∠ A∶∠ B∶∠ C= 2∶ 3∶ 4设∠ A= 2 k∠ B= 3 k∠ C= 4 k( k＞ 0)．
则α=∠ B+∠ C= 7 kβ=∠ A+∠ C= 6 kγ=∠ A+∠ B= 5 k．
∴α∶β∶γ= 7∶ 6∶ 5
两解比较，解法二显然简单一些．
问题 6：对任意一个△ ABC,总存在一个最小的内角α,则α的取值范围是()．
A． 60°＜α≤ 90°
B． 0°＜α≤ 45°
C． 0°＜α≤ 30°
D． 0°＜α≤ 60°
解：不妨设△ ABC三内角为α，β，γ，且α≤β≤γ．
∵ 3α≤α+β+γ= 180°
∴α≤ 60°选 D．
问题 7：如图，在△ ABC中，∠ B，∠ C的外角平分线交于 D，则下列等式成立的是()
A．∠ A+∠ D= 90°
B．｜∠ A -∠ D｜= 90°
C．∠ A+∠ D= 90°
D．｜∠ A -∠ D｜= 90°
分析本题关键在于准确分析∠ A与∠ D关系，合理利用内角和定理及推论．
解∠ D= 180° -(∠ 1+∠ 2)
∠ 1=∠ BCE=(∠ A+∠ ABC)
∠ 2=∠ CBF=(∠ A+∠ ACB)
∴∠ D= 180°－(∠ A+∠ ABC+∠ ACB+∠ A)
= 180° -( 180°+∠ A)×
= 90°－∠ A
∴∠ D+∠ A= 90°
选 C．
本例与有关三角形两内角和角平分线所成角的重要结论．即：△ ABC中，若∠ B，∠ C平分线交于 O，则∠ BOC= 90°+∠ A．若∠ B，∠ C外角平分线交于 P，则∠ BPC= 90°－∠ A．
问题 8：△ ABC三个内角 A、 B、 C满足 3∠ A＞ 5∠ B ,3∠ C≤ 2∠ B，判断这个三角形若按角分类，是什么三角形
分析 判断三角形按角分类是什么三角形,需弄清最大角是锐角、钝角，还是直角．
解∵ 3∠ A＞ 5∠ B
∴∠ B＜
∠ A．
又∵ 3∠ C≤ 2∠ B
∴ 3∠ C＜
∠ A∠ C＜
∠ A＜∠ A
∴∠ A为最大内角．
180°=∠ A+∠ B+∠ C＜∠ A+∠ A+∠ A= 2∠ A
∴∠ A＞ 90°
∴△ ABC为钝角三角形．
