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例析有关“三角形内角和”的常见问题

问题 1怎样应用三角形的三内角的和定理求未知角?如果所求的角是三角形的一个内角,

那么

(1)已知其余两个角分别是多少,就可以求出这个角;

(2)已知一个角,并且已知所求角和另一个角的关系就可以求出这个角.

例、在△ ABC中,∠ A60°,∠ B比∠ C10°,求∠ C

解:据题意,∠ B=∠ C10°,于是

∵∠ A+∠ B+∠ C180°,

60°+∠ C10°+∠ C180°

解关于∠ C的方程,得 2C110°,

∴∠ C55°.

问题 2:如图,线段 ADBC交于 QOD平分∠ CDABCHOB平分∠ ABCADG,求.

分析充分观察图形,合理利用各角之间的关系是解决本题关键,图中众多三角形中,找出与∠ O,∠ A,∠ C相关三角形很重要.

解在△ CHD和△ OHB中,

C+∠ 4=∠ O+∠ 2

在△ OGD和△ AGB中,

A+∠ 1=∠ O+∠ 3

①+②∠ A+∠ C+∠ 1+∠ 4= 2O+∠ 2+∠ 3

∵∠ 1=∠ 23=∠ 4∴∠ A+∠ C= 2O

问题 3:如图△ ABC的三条角平分线 ADBECF交于一点 OOGBCG.求证:∠ BOD=∠ COG

分析本题可考虑到 O为∠ BAC和∠ ABC的角平分线交点∠ AOB= 90°+ACB,再利用直角三角两锐角互余,在 RtOGC中,用∠ OCG表示∠ GOC

证∵ O为三内角平分线交点

∴∠ AOB= 180°-(∠ ABC+∠ BAC)= 90°+ACB,

BOD= 180° -AOB= 90°-ACB= 90° -OCD

OGBCG∴∠ GOC= 90° -OCD∴∠ BOD= COG

问题 4:△ ABC中,三内角度数均为整数,∠ A<∠ B<∠ C,且 4C= 7A,求∠ B的度数.

分析利用 4C= 7A∴∠ A∶∠ C= 47

设∠ A= 4 k,∠ C= 7 k( k为正整数)∴∠ B= 180° -11 k

又∵∠ A<∠ B<∠ C4 k180° -11 k7 k

解得 10°< k12°又 k为正整数∴ k= 11°

∴∠ B= 180° -11× 11°= 59°

问题 5:△ ABC三内角比为 234,求三外角的比.

分析不妨设∠ A∶∠ B∶∠ C= 234,对应的三个角角为α、β、γ,本题可利用内角和公式及已知求出各内角,再求出相应的外角,最后求此,亦可利用外角等于不相邻内角和,不求出具体角度来求出比.

解一∵∠ A∶∠ B∶∠ C= 234A+∠ B+∠ C= 180°

∴∠ A= 40°∠ B= 60°∠ C= 80°

α= 140°β= 120°γ= 100°

∴α:β:γ= 765

解二∵∠ A∶∠ B∶∠ C= 234设∠ A= 2 kB= 3 kC= 4 k( k0).

则α=∠ B+∠ C= 7 kβ=∠ A+∠ C= 6 kγ=∠ A+∠ B= 5 k

∴α∶β∶γ= 765

两解比较,解法二显然简单一些.

问题 6:对任意一个△ ABC,总存在一个最小的内角α,则α的取值范围是().

A60°<α≤ 90°

B0°<α≤ 45°

C0°<α≤ 30°

D0°<α≤ 60°

解:不妨设△ ABC三内角为α,β,γ,且α≤β≤γ.

3α≤α+β+γ= 180°

∴α≤ 60°选 D

问题 7:如图,在△ ABC中,∠ B,∠ C的外角平分线交于 D,则下列等式成立的是()

A.∠ A+∠ D= 90°

B.|∠ A -D|= 90°

CA+∠ D= 90°

D.|A -D|= 90°

分析本题关键在于准确分析∠ A与∠ D关系,合理利用内角和定理及推论.

解∠ D= 180° -(∠ 1+∠ 2)

1=BCE=(∠ A+∠ ABC)

2=CBF=(∠ A+∠ ACB)

∴∠ D= 180°-(∠ A+∠ ABC+∠ ACB+∠ A)

= 180° -( 180°+∠ A

= 90°-A

∴∠ D+A= 90°

C

本例与有关三角形两内角和角平分线所成角的重要结论.即:△ ABC中,若∠ B,∠ C平分线交于 O,则∠ BOC= 90°+A.若∠ B,∠ C外角平分线交于 P,则∠ BPC= 90°-A

问题 8:△ ABC三个内角 ABC满足 3A5B ,3C2B,判断这个三角形若按角分类,是什么三角形

分析 判断三角形按角分类是什么三角形,需弄清最大角是锐角、钝角,还是直角.

解∵ 3A5B

∴∠ BA. 

又∵ 3C2B

3CACA<∠ A

∴∠ A为最大内角.

180°=∠ A+∠ B+∠ C<∠ A+A+A= 2A

∴∠ A90°

∴△ ABC为钝角三角形.