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数学家眼中的内角和与外角和

我们已经学习了多边形的内角和与外角和,那么数学家是怎样看待内角和与外角和呢?看一看他们的观点,可能会使我们视野更开阔,思路更简捷.

一、内角和定理还成在吗?

美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家,他十分关心祖国数学科学的发展,人们称赞他是“中国青年数学习的总教练”.

1980年陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座:“人们常说,三角形内角和等于 180度,但是,这是不对的!

大家愕然!怎么回事?三角形内角和是 180度,这不是数学常识吗?

接着,这位老教授对大家的疑问作了精僻的解答:“三角形内角和为 180度,不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应该说:“三角形的外角和是 360度”

把眼光盯住内角,只能看到:三角形内角和是 180度.

四边形的内角和是 360度;五边形内角和是 540度….. n边形内角和是( n -2180度.

这就找到了一个计算内角和公式,公式里出现了边数 n,如果看外角呢?三角形外角和是 360度;四边形的外角和是 360度;五边形的外角和是 360度;……任意 n边形外角和都是 360

这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了,用一个与 n无关的常数代替了与 n有关的公式,找到了更一般的规律.

二.外角和定理有“作用”吗?

学习内、外角和是定理后,总感觉内角和定理运用多,外角和定理运用少,下面这组例题请你先自作,再看析解,你可能会应用内角和定理求解,也可能内角和与外角和“平分秋色”,但本文全用外角和解答.

1、已知一个多边形的内角和是 2340度则这个多边形的边数是多少?

析解:因为多边形外角和是 360度,所以边数是,边数为 15

2、如果一个正多边形每个外角是 24°,那么这个多边形有多少条边?

析解:因为多边形外角和是 360°所以边数为即这个正多边形边数是 15

3、已知在一个十边形中,九个内角和的度数是 1290°,求这个十边形的另一个内角的度数。

析解:因为 9个内角和是 1290°,所以 9个外角和是 180°× 91290°= 330°另一个外角是 30°,另一个内角是 150°.

4、在各个内角都相等的多边形中,一个外角等于一个内角的 2/5,求这个多边形每个内角的度数和它的边数

析解:设外角为 2 x°,则内角为 5 x°

2 x°+ 5 x°= 180°

解得 x= 所以外角为 内角为 边数为

三.内角和、外角和谁主“沉浮”

多边形内角和是( n -2180°= 180°× n -360°多边形外角和是 360°从形式看,外角和简单,从应用的角度.看,外角和广泛,从包含的关系角度.看,内角和包含外角和,所以,内角和、外角和谁主“沉浮”,请你决断.