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网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性,不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识,体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想,而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程,能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起,符合新课程标准的要求.
在正方形网格中,它有两个主要特征:( 1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线,所以格点间的任何线段长度都能求得;
( 2)利用正方形的性质,我们很容易知道一些特殊的角,如 450、 900、 1350,便一目了然.
利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来,特别是在研究相似问题时具有独到上午效果.
一、网格与相似三角形
例 1、如图 1,在正方形网格上,若使△ ABC∽△ PBD,则点 P应在()
A. P 1处
B. P 2处
C. P 3处
D. P 4处
分析:本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题
解:答案为 C
例 2、如图 2,小正方形的边长均为 l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC相似的是().
析解:透过网格我们可得一些特殊角如 450, 900,本题只要抓住∠ CAB= 1350的特征,可选择答案 C,因为透过网格的直观性我们易知其他点都没有 1350的角的特征,本题很好地考查了学生的观察能力和判断能力.
点拨:以上两例就是在网格内来判定三角形相似的问题,这里只要注意利用网格的两个显著特征,就很容易找出三角形的对应边(角),从而解决问题
二、网格与位似图形
例 3、如图 3,图中的小方格都是边长为 1的正方形,△ ABC与△ A′ B′ C′是关于点 0为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
( 1)画出位似中心点 0;
( 2)求出△ ABC与△ A′ B′ C′的位似比;
( 3)以点 0为位似中心,再画一个△ A 1 B 1 C 1,使它与△ ABC的位似比等于 1.5.
析解:此题把网格与位似(特殊的相似)变换融合在一起,利用网格的特征,按照要求就很容易解决问题
( 1)根据两个位似图形,对称点的连线必过位似中心的性质,只要分别连结 AA/、 BB/,它们的交点就是位似中心 O(如图 4);
( 2)根据位似比就是相似比,△ ABC与△ A′ B′ C′的位似比等于 AB与 A′ B′的比,也等于 AB与 A′ B′在水平线上的投影比,即.
( 3)本小题是网格操作画图问题,在位似中心 O固定后,只要按照题目要求画图即可.
要画△ A 1 B 1 C 1,先确定点 A 1的位置,因为△ A 1 B 1 C 1与△ ABC的位似比等于 1.5,因此 OA 1= 1.5 OA,所以 OA 1= 9.再过点 A 1画 A 1 B 1∥ AB交 O B′于 B 1,过点 A 1画 A 1 C 1∥ AC交 O C′于 C 1.
例 4、如图 5,方格纸中的每个小方格都是边长为 1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.
( 1)把向左平移 8格后得到,画出的图形并写出点的坐标;
( 2)把绕点按顺时针方向旋转后得到,画出的图形并写出点的坐标;
( 3)把以点为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为,画出的图形.
分析:本题第一问利用了平移变换,第二问利用了旋转变换,第三问利用了位似变换将一个图形放大为原来的 2倍,以及在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点.
解:( 1)画出的如图所示,点的坐标为.
( 2)画出的的图形如图所示,点的坐标为.
( 3)画出的的图形如图 6所示.
点拨:我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似四种变换,其中平移、轴对称、旋转变换都是全等变换,变换前后的图形是全等的,而位似变换是一种相似变换,变换前后的图形不全等而是相似的.平面直角坐标系下位似变换一般考查两个方面,(一)平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化的特点;(二)利用这种坐标变化的特点,画出平面直角坐标系下的位似图形.