例题：如图，在 Rt△ ABC中，∠ C= 900， AC= 4， BC= 3，四边形 DEFG
是△ ABC的内接正方形，求正方形的边长．
分析：首先添加辅助线，即作△ ABC的 AB边上的高，由正方形的
性质可知， GF∥ AB，从而得出△ GFC∽△ ABC，在根据相似的性质
得
，其中 CP是作出的 AB边上的高， CQ= CP-PQ= CP-GF，
因此通过计算可以得出所求的结果．
解：如图，过 C点作 CP⊥ AB，交 GF的延长线与 Q，由正方形和平行线的性质可知 CQ⊥ GF．
∵四边形 DEFG是正方形，∴ GF∥ DE，∴∠ CGF=∠ A，∠ C=∠ C，
∴△ CGF∽△ CAB，∴，∴
∵ QP= DG= GF，
∴
∴ GF= QP=
点拨：相似三角形中内接正方形或内接矩形问题是相似三角形中的一个难点，同时也是一个必考点，解决此类问题的常用方法就是先说明三角形相似，再由相似三角形对应边上的高的比等于相似比的性质即可解答．
引申：（全国初中数学竞赛）如图，面积为
的正方形 DEFG内接与面积为 1的正△ ABC中，其中 a， b， c为整数，且 b不能被任何质数的平方整除，则
的值是________．
分析：本题是一个三角形中内接正方形问题，解决此类问题的办法就是利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比，列出比例式，即可求解．
解，设正方形 DEFG的边长为 x，正△ ABC的边长为 m，则
，由△ ADG∽△ ABC可得
，解得
，则
根据题意可得， a= 28， b= 3， c= 48，所以
拓展：
1．如图，三角形内有并排放置的两个相等的正方形，它们组成的矩形内解于△ ABC，求正方形的边长．
分析：这是例题的延伸，将原来的正方形变成了两个，变成了三角形的内接矩形问题，其解法与内接正方形的问题的的解法是相同的．
解：同例题可得，△ CGF∽△ CAB，∴，∴
∵ 2 QP= 2 DG= GF，
∴
∴ QP=
2．如图，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内解于△ ABC，求正方形的边长．
解：同拓 1得，△ CGF∽△ CAB，∴，∴
∵ 3 QP= 3 DG= GF，
∴
∴ QP=
3．如图，三角形内有并排的 n个相等的正方形，它们组成的矩形内解于△ ABC，求正方形的边长．
解：同理可得 QP=
点拨：解决这类问题常用的方法就是利用正方形或矩形的性质得到角相等，然后的出三角形相似，最后根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比的性质即可求出三角形的内接正方形或内接矩形的边长．
