分式方程的增根是分式方程学习中的一个难点，下面结合相关例题细说增根如下，希望能给大家学习增根带来帮助．
1.增根的概念：
所谓增根就是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时又使原分式方程最简公分母为零的未知数的值．
2.增根产生的原因是：
增根是解分式方程式所产生的一种特殊情况．对于分式方程，当分式中的分母的值为零是没有意义，所以分式方程不允许未知数的值是是分母为零的值，即分式本身就隐含着分母不为零的条件，而当把分式方程去分母化成整式方程后，这种限制就取消了，也就是说方程中未知数允许取值的范围扩大了．若转化后的整式方程的根恰好是未知数的值允许以外的值，那么就会出现增根．所以分式方程必须验根．
3.分式方程验根的方法：
分式方程验根的方法有两种：一是将所求得的未知数的值代入原方程进行检验；二是将求得的未知数的值代入最简公分母中，看其值是否为零．
4.分式增根的应用：
因为分式的增根是解分式方程式所产生的一种特殊情况，所以我们可以利用这一性质进行相关试题的求解．
例 1、解分式方程
时出现了增根，则增根一定是________ ．
析解：因为增根就是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时又使原分式方程最简公分母为零的未知数的值．所以我们逆而思之，这增根必是最简公分母为零的值，即 x（ x -2）= 0，解得 x= 0或 x= 2，故增根一定是 0或 2.
例 2、若关于ｘ的方程
有增根，求ｍ的值．
析解： 去分母化为整式方程得，２ｘ＋１＝ｍ＋ｘ①，因为原方程有增根，则增根只能是ｘ＝３，把ｘ＝３代人方程①，得ｍ＝４．∴当ｍ＝４时，分式方程
有增根．
例 3、若关于
的方程
无解，求
的值
分析：原分式方程无解应包括两种情况：一是由原分式方程化成的整式方程无解；二是求出的整式方程的根都是原分式方程的增根．
解：去分母，化为整式方程得：
①
⑴若方程①无解，则原方程也无解
方程①化为
，当
，且
时，方程①无解，故
⑵若方程①有解，而这个解恰好又是原方程的增根，这时原方程也无解．
所以，当方程①的解为
3时，
，得
，这时原方程也无解．
所以当
或时，原方程无解．
例 4、若方程
有解，则
的取值范围是___________
析解：去分母，整理，得
，所以
.
由原分式方程知
或
是原方程的增根，即当
，
或
时，原方程有增根，应舍去
所以，当
且
时，原方程有解，解为.
例 5、当ｍ为何值时，分式方程
的解不小于１？
析解：去分母化为整式方程，得７ｘ－２ｍ＋３＝０，解得，ｘ＝
．
∵原方程的解不小于１，∴≥１，得ｍ≥５．又因为 x= 2, x=－ 3是方程的增根，应舍去，所以≠－３且≠２，得ｍ≠－９且ｍ≠
．∴当ｍ≥５且ｍ≠时，分式方程
的解不小于１．
牛刀小试
1.若方程
有增根，则的值为 _________ ．
2.如果方程
有增根
，则
＝________
3.已知关于 x的方程
的解是正数，则 m的取值范围为____________
4.若关于的分式方程
无解，则
__________ ．
5.已知关于 x的分式方程
的解是非正数，则 a的取值范围是__________.
答案： 1. -1 2. 1 3. m> -6且 m≠ -4 4. 1或 -2 5. a≤－ 1且 a≠－ 2
