五、构造法

构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决

例 1从 1， 2， 3，…， 999这 999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积.应划去哪些数？

解：我们可划去 2， 3，…， 30， 31这 30个数，因为划去了上述这 30个数之后，余下的数中，除 1以外的任何两个数之积将大于.

另一方面，可以通过构造三元数组来证明 30是最少的个数.

（ 2， 61， 2× 61），（ 3， 60， 3× 60），（ 4， 59， ANOAHDIGITAL 10× ANOAHDIGITAL 11），…，

（ 30， 33， 30× 33），（ 31， 32， 31× 32）.

上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31× 32= 992.如果划去的数少于 30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件.所以， 30是最少的个数.

六、配对法

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）传说高斯 8岁时求和（ 1+ 2+…+ 100）首创了配对.像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解

例 2求 1， 2， 3，…， 9999998， 9999999这 9999999个数中所有数码的和.

解：在这些数前面添一个数 0，并不影响所有数码的和.将这 1000万个数两两配对，因为 0与 9999999， 1与 9999998，…， 4999999与 5000000各对的数码和都是 9× 7= ANOAHDIGITAL 10.这里共有 ANOAHDIGITAL 11对，故所有数码的和是 ANOAHDIGITAL 12× ANOAHDIGITAL 13= ANOAHDIGITAL 14.

例 3某商场向顾客发放 9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001到 9999号.若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”例如号码 0734，因 0+ 7= 3+ 4，所以这个号码的购物券是幸运券.试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被 101整除.

解：显然，号码为 9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码 n是幸运券，那么号码为 m= 9999 - n的购物券也是幸运券.由于 9999是奇数，所以 m≠ n.

由于 m+ n= 9999，相加时不出现进位，所以除去号码是 9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为 9999，即所有幸运券号码之和是 9999的倍数.

因为 9999= 99× 101，所以所有幸运券号码之和能被 101整除.

七、估计法

估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的

在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解

例 4已知一个整数等于 4个不同的形如（ m是整数）的真分数之和，求这个数，并求出满足题意的 5组不同的真分数.

解：因每一真分数满足

而所求的数整 S是四个不同的真分数之和，因此 2＜ S＜ 4，推知 S= 3.于是可得如下 5组不同的真分数：