小升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆主要的结论有：

1．带余除法：若 a， b是两个整数， b＞ 0，则存在两个整数 q， r，使得

a= bq+ r（ 0≤ r＜ b），

且 q， r是唯一的.

特别地，如果 r= 0，那么 a= bq.这时， a被 b整除，记作 b| a，也称 b是 a的约数， a是 b的倍数.

2．若 a| c， b| c，且 a， b互质，则 ab| c.

3．唯一分解定理：每一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积，即

（ 1）

其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的（ 1）式称为 n的质因数分解或标准分解.

4．整数集的离散性： n与 n+ 1之间不再有其他整数.因此，不等式 x＜ y与 x≤ y -1是等价的.

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解

一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决这些常用的形式有：

1．十进制表示形式；

2．带余形式： a= bq+ r；

3.标准分解式：；

4． 2的乘方与奇数之积式.

例 1红、黄、白和蓝色卡片各 1张，每张上写有 1个数字，小明将这 4张卡片如下图放置，使它们构成 1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差.结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998.问：红、黄、蓝 3张卡片上各是什么数字？

解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是，则这个四位数可以写成

它的各位数字之和的 10倍是

这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差是

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得

所以红色卡片上是 2，黄色卡片上是 1，蓝色卡片上是 8.

例 2从自然数 1， 2， 3，…， 1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被 18整除？

解：设 a， b， c， d是所取出的数中的任意 4个数，则

a+ b+ c= 18 m， a+ b+ d= 18 n，

其中 m， n是自然数.于是

c-d= 18（ m-n）.

上式说明所取出的数中任意 2个数之差是 18的倍数，即所取出的每个数除以 18所得的余数均相同.设这个余数为 r，则

其中是整数于是

因为 18|（ a+ b+ c），所以 18| 3 r，即 6| r，推知 r= 0， 6， 12.因为 1000= 55× 18+ ANOAHDIGITAL 10，所以，从 ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12，…， ANOAHDIGITAL 13中可取 ANOAHDIGITAL 14， ANOAHDIGITAL 15， ANOAHDIGITAL 16，…， ANOAHDIGITAL 17共 ANOAHDIGITAL 18个数，它们中的任意 ANOAHDIGITAL 19个数之和能被 ANOAHDIGITAL 20整除.

二、枚举法

枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等

例 3求这样的三位数，它除以 11所得的余数等于它的三个数字的平方和.

分析与解：三位数只有 900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量.

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x， y， z.由于任何数除以 11所得余数都不大于 10，所以

，

从而 1≤ x≤ 3， 0≤ y≤ 3， 0≤ z≤ 3.所求三位数必在以下数中：

100， 101， 102， 103， 110， 111， 112，

120， 121， 122， 130， 200， 201， 202，

211， 212， 220， 221， 300， 301， 310.

不难验证只有 100， 101两个数符合要求.