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小升初考试中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆主要的结论有:
1.带余除法:若 a, b是两个整数, b> 0,则存在两个整数 q, r,使得
a= bq+ r( 0≤ r< b),
且 q, r是唯一的.
特别地,如果 r= 0,那么 a= bq.这时, a被 b整除,记作 b| a,也称 b是 a的约数, a是 b的倍数.
2.若 a| c, b| c,且 a, b互质,则 ab| c.
3.唯一分解定理:每一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积,即
( 1)
其中为质数,为自然数,并且这种表示是唯一的( 1)式称为 n的质因数分解或标准分解.
4.整数集的离散性: n与 n+ 1之间不再有其他整数.因此,不等式 x< y与 x≤ y -1是等价的.
下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解
一、利用整数的各种表示法
对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决这些常用的形式有:
1.十进制表示形式;
2.带余形式: a= bq+ r;
3.标准分解式:;
4. 2的乘方与奇数之积式.
例 1红、黄、白和蓝色卡片各 1张,每张上写有 1个数字,小明将这 4张卡片如下图放置,使它们构成 1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差.结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是 1998.问:红、黄、蓝 3张卡片上各是什么数字?
解:设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是,则这个四位数可以写成
它的各位数字之和的 10倍是
这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差是
比较上式等号两边个位、十位和百位,可得
所以红色卡片上是 2,黄色卡片上是 1,蓝色卡片上是 8.
例 2从自然数 1, 2, 3,…, 1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被 18整除?
解:设 a, b, c, d是所取出的数中的任意 4个数,则
a+ b+ c= 18 m, a+ b+ d= 18 n,
其中 m, n是自然数.于是
c-d= 18( m-n).
上式说明所取出的数中任意 2个数之差是 18的倍数,即所取出的每个数除以 18所得的余数均相同.设这个余数为 r,则
其中是整数于是
因为 18|( a+ b+ c),所以 18| 3 r,即 6| r,推知 r= 0, 6, 12.因为 1000= 55× 18+ ANOAHDIGITAL 10,所以,从 ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12,…, ANOAHDIGITAL 13中可取 ANOAHDIGITAL 14, ANOAHDIGITAL 15, ANOAHDIGITAL 16,…, ANOAHDIGITAL 17共 ANOAHDIGITAL 18个数,它们中的任意 ANOAHDIGITAL 19个数之和能被 ANOAHDIGITAL 20整除.
二、枚举法
枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题
运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等
例 3求这样的三位数,它除以 11所得的余数等于它的三个数字的平方和.
分析与解:三位数只有 900个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少计算量.
设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x, y, z.由于任何数除以 11所得余数都不大于 10,所以
,
从而 1≤ x≤ 3, 0≤ y≤ 3, 0≤ z≤ 3.所求三位数必在以下数中:
100, 101, 102, 103, 110, 111, 112,
120, 121, 122, 130, 200, 201, 202,
211, 212, 220, 221, 300, 301, 310.
不难验证只有 100, 101两个数符合要求.