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平方差公式是初中数学中的一个很重要的公式,利用它计算或化简具有简洁明快的特点.但有些题目,并不能直接应用平方差公式,必须先对式子作适当的变形,使之符合平方差公式的特征,然后再利用平方差公式来求解,其关键是要善于“变形”.下面结合实例给出几种常见的变形方法.
1.改变符号
例 1计算( -3 a -1)( 3 a -1).
解:原式= -( 3 a+ 1)( 3 a -1)= -( 9 a 2 -1)= 1-9 a 2.
2.变换位置
例 2计算( - ab -2)( ab -2).
解:原式=[( -2) - ab][( -2)+ ab]= 4 - a 2 b 2.
3.系数变形
例 3计算( 2 ab+ 6 c)( ab -3 c).
解:原式= 2( ab+ 3 c)( ab -3 c)= 2( a 2 b 2 -9 c 2)= 2 a 2 b 2 -18 c 2.
4.逆用积的乘方性质
例 4计算( a-b) 2( a+ b) 2( a 2+ b 2) 2.
解:原式=( a-b) 2( a+ b) 2( a 2+ b 2) 2=[( a-b)( a+ b)( a 2+ b 2)] 2
=[( a 2 - b 2)( a 2+ b 2)] 2=( a 4 - b 4) 2= a 8 -2 a 4 b 4+ b 8.
5.拆项变形
例 5计算( x-y+ 1)( x+ y -5).
解:原式=( x-y -2+ 3)( x+ y -2-3)=[( x -2) -( y -3)][( x -2)+( y -3)]
=( x -2) 2 -( y -3) 2= x 2 - y 2 -4 x+ 6 y -5.
6.乘“ 1”,加“ 0”
例 6计算( 2+ 1)( 2 2+ 1)( 2 4+ 1)( 2 8+ 1).
解:原式= 1×( 2+ 1)( 2 2+ 1)( 2 4+ 1)( 2 8+ 1)=( 2-1)( 2+ 1)( 2 2+ 1)( 2 4+ 1)( 2 8+ 1)
=( 2 2 -1)( 2 2+ 1)( 2 4+ 1)( 2 8+ 1)=( 2 4 -1)( 2 4+ 1)( 2 8+ 1)=( 2 8 -1)( 2 8+ 1)= 2 16 -1.
例 7计算 9999 2.
解:原式= 9999 2+ 0= 9999 2 -1+ 1= 9999 2 -1 2+ 1
=( 9999-1)( 9999+ 1)+ 1= 9998× 10000+ 1= 99980001.
此外,平方差公式还有如下几种巧妙的应用方式.
7.逆向应用
例 8计算.
解:原式
.
8.变形应用
例 9已知 a+ b= 4, ab= 1,求① a 2+ b 2;② a 4+ b 4的值.
解:因为 a+ b= 4, ab= 1.
所以① a 2+ b 2=( a+ b) 2 -2 ab= 4 2 -2× 1= 14;② a 4+ b 4=( a 2+ b 2) 2 -2 a 2 b 2= 14 2 -2× 1 2= 194.
平方差公式的应用是十分广泛的,解题技巧性较强,同学们在学习过程中应注意总结,灵活变通,真正变课本知识为自己的知识.