1、如图，在时钟的表盘上任意作
个
的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖
个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到
个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作
个扇形将不能保证上述结论成立．
【答案及解析】
在表盘上共可作出 12个不同的扇形，且 1～ 12中的每个数恰好被 4个扇形覆盖．将这 12个扇形分为 4组，使得每一组的 3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择 9个扇形，必有
个扇形属于同一组，那么这一组的 3个扇形可以覆盖整个表盘．
另一方面，作 8个扇形相当于从全部的 12个扇形中去掉 4个，则可以去掉盖住同一个数的 4个扇形，这样这个数就没有被剩下的 8个扇形盖住，那么这 8个扇形不能盖住整个表盘．
2、对四位数
，若存在质数
和正整数
，使
，且
，求这样的四位数的最小值，并说明理由．
【答案及解析】
因为 2 2 -5< 0， 3 3 -5= 22， 5 5 -5太大，所以
．因为
是 3的幂，所以四个数字中不能包含 3以外的质因子，也就是说只能含有 1， 3， 9．
观察可知恰好有
，所以最小的这样的四位数是 1399．
3、有 5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为______．
【答案及解析】
设中间数是
，则它们的和为
， 中间三数的和为
．
由于是平方数，设 5 x= 5 2× a 2，则 x= 5 a 2； 3 x= 15 a 2= 3× 5× a 2是立方数，所以 a 2至少含有 3和 5的质数因数各 2个，即 a 2至少是 225，中间的数至少是 1125，那么这 5个数中最小值为 1123。
4、一根 101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔 2厘米画一个刻度，第二次每隔 3厘米画一个刻度，第三次每隔 5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．
【答案及解析】
要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于 1、 2、 3、…、 100、 101这 101个自然数中 2或 3或 5的倍数的个数，为：
，
表示不超过
的最大整数
故木棒上共有 74个刻度，可以截出 75段．
