一、“转化”思想

“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”

例 1、解方程组

分析 1：由于①中 x系数为 1，可将①变形为 x= -2 y -2③，然后将③代入②，消去 x，得到关于 y的一元一次方程.从中求出 y，然后将 y代入③中求 x.

解法 1：由①得 x= -2 y -2,③

③代入②中得 7( -2 y -2) -4 y= -41， y=.

将 y=代入③中得 x= -5.∴

点拨：本题通过“代入”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题

分析 2：①和②中 y的符号相反，且系数成 2倍关系，故将①× 2+②可消去 y.

解法 2：①× 2+②得 9 x= -45， x= -5.

将 x= -5代入①中得 y=∴

点拨：本题通过“加减消元”，同样将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题

例 2、已知与是同类项，求 m、 n的值.

分析：同类项要求相同字母的指数相同，故有解这个方程组可求得 m、 n.

解：依题意有解得

点拨：本题运用了转化的思想第一,根据同类项的意义,将求解问题转化为解关于 m、 n的二元一次方程组的问题.第二，运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，当然本题还运用了方程的思想

二、方程的思想

将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，本章中有关计算和解决有关应用题所运用这种思想。用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多

例 3、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是( )

A． 5

B． 6

C． 7

D． 8

分析：此题中有两个未知量——驴子和骡子各驮的货物的袋数

问题中有两个等量关系：⑴骡子驮袋数+ 1袋= 2（驴子驮的袋数 -1袋）；⑵骡子驮袋数 -1袋=驴子驮的袋数+ 1袋.

解：设驴子驮 x袋,骡子驮 y袋,根据题意,得

解这个方程组,得

答：驴子驮 5袋，骡子驮 7袋.故选 A．

点拨：列方程（组）解应用题是方程思想在数学中的最典型、最基本的体现，也是方程思想反映的最常见的题型，是中考必考查的考点

三、整体思想

当一个问题中未知数较多，一个一个求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的某一个固定代数式看作一个整体，在运算和求解时整体参与，这样有时可使运算简捷，这种方法是整体思想的体现，本章解方程组时有时也需用到这种思想和方法

例 4、某班春游，上午 8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留 1个半小时，沿原路返回学校时已是下午 3时 30分，已知平路每小时行 4千米，上山速度是平路的，下山速度是上山的 2倍，求所行全程.

分析：设全程中平路为 2 x千米，上、下山路各为 y千米，则平路所用的时间为小时，上山时间为小时，下山时间为小时，而总时间为 15.5 -8-1.5= 6小时，得到方程

++= 6.从而求解

解：设全程中平路为 2 x千米，上、下山路各为 y千米，依题意有++= 6.

6 x+ 2 y+ 4 y= 72，所以 2 x+ 2 y= 24.

答：全程为 24千米.

四、数形结合的思想

例 5、小明在拼图时，发现 8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图 1所示，小红看见了，说：“我来试一试”.结果小红其拼八凑,拼成如图 2所示的正方形，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长为 2 mm的小正方形！你能算出每个长方形的长和宽是多少吗?

分析：本题有两个未知量——长方形的长与宽观察图形得到两个等量关系；由图 1得：长的 3倍等于宽的 5倍；由图 2得：长的 2倍+ 2=长+宽的 2倍.

解：设长方形的长为 xmm，宽为 ymm，根据题意,得

整理,得解得

答:这些小长方形的长为 10 mm,宽为 6 mm.

点拨：本题巧妙地运用了两个拼图,建立起小长方形的长与宽的关系,它体现了数与形之间的相互关系,打破了用语言描述两个量之间关系的常规,渗透了数形结合的数学思想

例 6、如图 3,在长方形 ABCD中, AB= 8 cm， BC= 6 cm且△ BEC的面积比△ DEF的面积大 5 cm²,求的 DF长.

分析：本题是数形结合题,未知数只有一个，若直接设 DF的长为 x，不易找出等量关系，可以分步来解，如设△ BEC的面积为 xcm²，△ DEF的面积为 ycm²，梯形 ABCD的面积为 zcm²，则有从中求出△ ABF的面积 y+ z= 43，再求 DF就容易了.

解：设△ BEC的面积为 xcm²，△ DEF的面积为 ycm²，梯形 ABCD的面积为 zcm²，

梯形的面积为

依题意,得

② -①得 y+ z= 43，

即△ SBF的面积为 43 cm².

设 DF的长为 a cm,

有

答： DF的长为

点拨：⑴本题综合性较强涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等⑵本题解方程组有一定的技巧，要求整体求解⑶解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法

七、“换元”思想

换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简，花隐为显，化难为易的目的，本章中呈现形式较复杂的一些方程组的解法多采用这种方法

例 7、解方程组

解：设，

则原方程组变为

①+②× 9得 17 u= 68， u= 4.

将 u= 4代入②中得 v= 2.

∴解得

点拨：本题借助换元的方法,将复杂的方程组转化为简单的方程组来解决