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二元一次方程组的消元技巧

解二元一次方程组的关键在于消元,化“二元”为“一元”,将“陌生”的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程,从而求解,同学们在掌握用代入消元、加减消元法的同时,还要注意观察和分析方程组中各方程的结构特点,开拓新思路,采用一些特殊方法,简捷求解,从而提高和培养自已的创新能力,请看:

一、整体代入法

1、解方程组

分析:此题常规解法是先化简再加减消元,虽能达到目的,但不是明智之举,若能运用整体思想,将方程( 1)整体代入到方程( 2),则快人一步!

简解:将方程( 1)整体代入到方程( 2),得 2 y+ 3× 3= 11

y= 1,将 y= 1代入( 1)得 x= 4

∴方程组的解为

二、整体加减法

2、解方程组

分析:若先去分母,再化简求解,不胜繁冗,观察发现两个方程中都含有,分别将其看作一个整体,将方程( 1)与方程( 2)进行整体加减消元,则简单明快.

1)+( 2)得: x+ y= 6,( 1-2)得 x-y= 20

∴ 原方程组转化为

简解:解之得

3、解方程组

分析:对于这样系数较大的方程组,千万别硬做,繁琐难算且易错!观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式,分别将两个方程整体相加、减,可构造一个简单方程组,从而简化计算过程.

简解:( 1)+( 2)得 x+ y= 1;( 1-2)得 x-y= -1

∴原方程组转化为

解得

∴原方程组的解为

三、消去常数法

4、解方程

分析:按常规先去分母,化为整数系数再消元,运算量大,观察发现两个方程的常数项相同,所以两式相减消去常数项,再代入消元可获巧解.

简解:( 1-2)得

x= y…( 3),将( 3)代入( 1),解得 x=

∴ 原方程组的解为

四、整体构造法

5、某人买 13个鸡蛋、 5个鸭蛋、 9个鹅蛋共用 12.7元;若买 2个鸡蛋、 4个鸭蛋、 3个鹅蛋共用 4.7元,求买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需多少元?

分析:设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格各为 xyz元,根据题意只能布列 2个方程,不能求出 xyz的值,将 x+ y+ z看作一个整体,将每一个方程都构造含有 x+ y+ z的式子,从而可整体求出.

简解:设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格分别为 xyz元,则有:

将方程组可变为

3-4)× 4,即得 x+ y+ z= 1.5,故买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需 1.5元.

五、换元法

6、解方程组

分析:所谓换元就是在解题过程中,把含某个(或某些)字母的式子做为一个整体,用一新的字母表示,从而把一个较为复杂的式子化简,把原题归给为较简单的基本问题,过到化难为易的目的.

简解:设,则 x= 2 ky= 3 kz= 4 k,又 5 x+ 2 y -3 z= 8

10 k+ 6 k -12 k= 8k= 2

∴原方程组的解为

总之,在解二元一次方程组时,一定要分析题目的特点,灵活运用技巧,才能简化解题过程,化繁为简,提高正确率.