一、自变量问题
一次函数的自变量在通常情况下是取任意实数的，但是当函数的关系式具有实际意义时，一次函数的自变量在取值时就要使关系式有意义才行．
例 1、火车提速后的“动力组”的平均速度达到 200 km/ h，那么它行驶的路程 s与时间 t之间是什么样的函数关系？自变量的取值范围又是怎样的呢？
错解：由于平均速度是 200 km/ h， s随着 t的增大而增大，所以 s与 t之间是正比例函数关系，其中 t是自变量，它的取值范围是任意实数．
错解分析：自变量的取值除了使函数关系式有意义之外，还应该具有实际意义才行，由于时间 t不能为负，所以自变量 t的取值范围应该是非负数，即 t≥ 0．
正解：正比例函数关系，自变量 t的取值范围应该是非负数，即 t≥ 0．
二、函数类型的判定
一次函数的一般形式是 y= kx+ b( k≠ 0)，正比例函数的一般形式是 y= kx( k≠ 0)，正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数．
例 2、梯形的上底是 4，下底是 a，高是 6，那么面积 s与下底 a是什么关系？
错解：因为梯形的面积 s=
（上底+下底）×高，即 s=（ 4+ a）× 6= 3（ 4+ a）． s随着 a的增加而增加，所以面积 s与下底 a是正比例函数关系．
错解分析：错解的原因在于对一次函数与正比例函数的概念分不清楚，只是根据 s随着 a的增加而增加，而判断其是正比例函数，在判断一个函数是什么类型时，要将其关系式化成一般形式．将 s= 3（ 4+ a）展开答案就很明显了．
正解： s=（ 4+ a）× 6= 3（ 4+ a）= 3 a+ 12， k= 3， b= 12，所以是一次函数关系．
例 3、三个变量 x、 y、 z，其中 y是 x的正比例函数， z是 y的正比例函数，请问 z是 x的什么函数？
错解：因为 y是 x的正比例函数，所以 y= kx( k是常数，且 k≠ 0)；
又因为 z是 y的正比例函数，所以 z= ky，所以 z= ky= k× kx= k 2 x；
又因为 k是常数，且 k≠ 0，所以 k 2也是个常数．
所以 z是 x的正比例函数．
错解分析：虽然结果都是 z是 x的正比例函数，但是在解题的过程中，由于对正比例函数掌握的不好，所以出错．因为， y是 x的正比例函数， z是 y的正比例函数，但是两个函数中的比例系数 k的值是不同的，所以应区别对待．
正解：因为 y是 x的正比例函数，所以 y= k 1 x( k 1是常数，且 k 1≠ 0)；
又因为 z是 y的正比例函数，所以 z= k 2 y，( k 2是常数，且 k 2≠ 0)；
所以 z= k 2 y= k 1× k 2 x= k 1 k 2 x；
又因为 k 1、 k 2是常数，且 k 1≠ 0， k 2≠ 0．所以 k 1 k 2也是个常数．
所以 z是 x的正比例函数．
三、一次函数图象类问题
熟练掌握一次函数图象的性质，结合一次函数的关系式，既要满足图形，又要满足关系式．
例 4、已知一次函数 y=( m+ 1) x+ m 2 -1的图象过原点，求 m的值．
错解：因为一次函数的图象过原点，所以 b= 0，即 m 2 -1= 0，所以 m= 1或 m= -1．
错解分析：出错的原因是只考虑函数的图象问题，没有考虑关系式是否有意义．
正解：因为一次函数的图象过原点，所以 b= 0，且 k≠ 0，
即 m 2 -1= 0， m+ 1≠ 0，所以 m= 1或 m= -1（舍）．
所以一次函数 y=( m+ 1) x+ m 2 -1的图象过原点时 m= 1．
