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平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁,是非常重要的数学工具.要掌握以下几点:
1、坐标平面内的点和有序实数对一一对应
已知点 P( x, y),它的横坐标 x和纵坐标 y的顺序是不能任意交换的, A( 3, 2)和 B( 2, 3)表示两个不同的点.
对于坐标平面内的任意一点 P,存在唯一的一对有序实数( x, y)和它对应;反过来,对于任意一对有序实数( x, y),在坐标平面内有唯一的 P点和它对应.这里,( x, y)称为点 P的坐标, x是横坐标, y是纵坐标, x写在前, y写在后.
2、特殊点的坐标
x轴上点的纵坐标为零,即( x, 0),如果某点的坐标为( x, 0),则它在 x轴上.
y轴上点的横坐标为零,即( 0, y),如果某点的坐标为( 0, y),则它在 y轴上.
第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等,即( x, x),如果点的坐标为( x, x),则它必定在一、三象限角平分线上.
第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数,即( x,- x),如果点的坐标为( x,- x),则它在二、四象限角平分线上.
原点的坐标是( 0, 0),反之,坐标是( 0, 0)的点是原点.
3、对称点
关于 x轴对称的两个点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
关于 y轴对称的两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.
关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数.如果一个点的坐标为( a, b),那么这个点关于 x轴、 y轴、原点的对称点分别是( a,- b),(- a, b),(- a,- b).它的逆命题亦成立.
4、点 P( x, y)到两坐标轴的距离
点 P( x, y)到 x轴和 y轴的距离分别是| y|和| x|.
点 P( x, y)到坐标原点的距离为.(由勾股定理可证)
例 1、已知点 A和点 B( a,- b)关于 y轴对称,求点 A关于原点的对称点 C的坐标.
解:因为点 A和点 B( a,- b)关于 y轴对称,则 A点的坐标为(- a,- b).
因为 C点和 A点关于原点对称,所以, C点的坐标为( a, b).
例 2、若点( 5- a, a- 3)在第一、三象限角平分线上,求 a的值.
解:∵点( 5- a, a- 3)在一、三象限角平分线上.
∴ 5- a= a- 3,得 a= 4.
例 3、已知点 P到 x轴和 y轴的距离分别是 3, 4.求 P点的坐标.
解:设 P点的坐标为( x, y),依题意,得
解得
则满足条件的点有 P 1( 4, 3), P 2( 4,- 3), P 3(- 4, 3), P 4(- 4,- 3).
例 4、点 P( x, y)在第四象限内,且| x|= 2,| y|= 5, P点关于原点的对称点的坐标是_______.
解:∵| x|= 2.
∴ x 1= 2, x 2=- 2.
∵| y|= 5,
∴ y 1= 5, y 2=- 5.
∵点 P( x, y)在第四象限,
∴ x> 0, y< 0,
∴点 P的坐标为( 2,- 5).
则 P点关于原点对称点的坐标为(- 2, 5).