一、共点力作用下物体的平衡
● 要点梳理
物体的平衡状态：一个物体在共点力作用下，如果保持静止或匀速直线运动状态，则这个物体就处于平衡状态．如光滑水平面上匀速直线滑动的物块；沿斜面匀速直线下滑的木箱；天花板上悬挂的吊灯等，这些物体都处于平衡状态．
物体处于平衡状态时分为两类：一类是共点力作用下物体的平衡；另一类是有固定转动轴物体的平衡．在这一节我们只研究共点力作用下物体的平衡．
共点力作用下物体的平衡又分为两种情形，即静平衡(物体静止)和动平衡(物体做匀速直线运动)．
● 疑点辨析
对静止的理解：静止与速度 v＝ 0不是一回事．物体保持静止状态，说明 v＝ 0， a＝ 0，两者必须同时成立．若仅是 v＝ 0， a≠ 0，如上抛到最高点的物体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态．所以平衡状态是指加速度为零的状态，而不是速度为零的状态．
二、共点力作用下的平衡条件
● 要点梳理
共点力作用下物体处于平衡状态的力学特点是所受合外力 F合＝ 0.
例如，图甲中，放在水平地面上的物体保持静止，则此物体所受的重力和支持力是一对平衡力，其合力为零．又如图乙中，若物体沿斜面匀速下滑，则 f与 N的合力必与重力 G等大、反向，故仍有 F合＝ 0.
甲
乙
● 重点解读
( 1)若物体在两个力同时作用下处于平衡状态，则这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，其合力为零，这就是初中学过的二力平衡．
( 2)若物体在三个非平行力同时作用下处于平衡状态，则这三个力必定共面共点(三力汇交原理)，合力为零，称为三个共点力的平衡，其中任意两个力的合力必定与第三个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．
( 3)物体在 n个非平行力同时作用下处于平衡状态时， n个力必定共点，合力为零，称为 n个共点力的平衡，其中任意( n－ 1)个力的合力必定与第 n个力等值反向，作用在同一直线上．
由牛顿第二定律知道，作用于物体上力的平衡是物体处于平衡状态的原因，物体处于平衡状态是力的平衡的结果．
三、共点力平衡条件的应用
● 重点解读
现实生活中，物体在力的作用下处于平衡的情况随处可见，站着的人在重力和地面支持力的作用下，处于静止的平衡状态，这叫做静态平衡；跳伞运动员在降落过程中，当其匀速降落时，他所受的重力与降落伞的拉力及空气阻力相平衡，这叫做动态平衡．
有时，物体就整体而言并不处于平衡状态，但它可以在某一方向上处于平衡状态．如在海面上加速行驶的快艇，在水平方向上做变速运动，可是它在竖直方向上只受重力和浮力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡状态．
( 1)在共点力作用下物体处于平衡状态，则物体所受合力为零，因此物体在任一方向上的合力都为零．
( 2)如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则物体在该方向上合力为零，因此可以在该方向上应用平衡条件列方程求解．
四、应用
（一）平衡状态的判断
【例题 1】下列物体处于平衡状态的是()
A．静止在粗糙斜面上的物体
B．物体在光滑斜面上由静止释放后沿斜面自由下滑
C．在平直公路上匀速行驶的汽车
D．做自由落体运动的物体在刚开始下落时
【解析】 在共点力作用下处于平衡状态的物体，必然同时具备两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或匀速运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．
显然，静止在粗糙斜面上的物体和匀速行驶的汽车都处于平衡状态，而沿光滑斜面由静止加速下滑的物体，加速度不等于零，不处于平衡状态，做自由落体运动的物体在刚开始下落时，尽管速度 v＝ 0.但加速度 a＝ g≠ 0，合力 F＝ G≠ 0，故也不处于平衡状态．
【答案】 AC
【方法总结】判断物体是否处于平衡状态的方法：
( 1)根据物体的运动状态(看运动状态是静止，还是匀速运动)
( 2)根据物体的受力情况(看合力是否为零)．
（二）静态平衡的求解
【例题 2】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在 A点(下图所示)，足球的质量为 m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为 B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．
【解析】取足球作为研究对象，它共受到三个力作用，重力 G＝ mg，方向竖直向下；墙壁的支持力 N，方向水平向右；悬绳的拉力 T，方向沿绳的方向．
这三个力一定是共点力，重力的作用点在球心 O点，支持力 N沿球的半径方向． G和 N的作用线必交于球心 O点，则 T的作用线必过 O点．既然是三力平衡，可以根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可以用相似三角形求解，也可用正交分解法求解．
解法一：用合成法
取足球作为研究对象，它们受重力 G= mg、墙壁的支持力 N和悬绳的拉力 T三个共点力作用而平衡，由共点力平衡的条件可知， N和 T的合力 F与 G大小相等、方向相反，即 F= G，从图中力的平行四边形可求得： N= Ftanα= mgtanα
T= F/ cosα= mg/ cosα.
解法二：用分解法
取足球为研究对象，其受重力 G、墙壁支持力 N、悬绳的拉力 T，如下图所示，将重力 G分解为 F′ 1和 F′ 2，由共点力平衡条件可知， N与 F′ 1的合力必为零， T与 F′ 2的合力也必为零，所以
N＝ F′ 1＝ mgtanα
T＝ F′ 2＝ mg/ cosα.
解法三：用相似三角形求解
取足球作为研究对象，其受重力 G，墙壁的支持力 N，悬绳的拉力 T，如下图所示，设球心为 O，由共点力的平衡条件可知， N和 G的合力 F与 T大小相等，方向相反，由图可知，三角形 OFG与三角形 AOB相似，所以
解法四：用正交分解法求解
取足球作为研究对象，受三个力作用，重力 G，墙壁的支持力 N，悬绳拉力 T，如下图所示，取水平方向为 x轴，竖直方向为 y轴，将 T分别沿 x轴和 y轴方向进行分解．由平衡条件可知，在 x轴和 y轴方向上的合力 Fx合和 Fy合应分别等于零．即
F x合= N-Tsinα= 0①
F y合＝ Tcosα－ G＝ 0②
由②式解得： T＝ G/ cosα＝ mg/ cosα，
代入①得 N＝ Tsinα＝ mgtanα.
【答案】 mg/ cosα mgtanα
【方法总结】 应用共点力的平衡条件解题的一般步骤：
( 1)确定研究对象：即在弄清题意的基础上，明确以哪一个物体(或结点)作为解题的研究对象．
( 2)分析研究对象的受力情况：全面分析研究对象的受力情况，找出作用在研究对象上的所有外力，并作出受力分析图，如果物体与别的接触物体间有相对运动(或相对运动趋势)时，在图上标出相对运动的方向，以判断摩擦力的方向．
( 3)判断研究对象是否处于平衡状态．
( 4)应用共点力的平衡条件，选择适当的方法，列平衡方程．
( 5)求解方程，并根据情况，对结果加以说明或必要的讨论．
（三）动态平衡问题
【例题 3】如下图所示．挡板 AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为 m，则挡板与竖直墙壁之间的夹角θ缓慢增加至θ= 90°时， AB板及墙对球压力如何变化？
【解析】 解法一：解析法
由于挡板缓慢放下，故小球总处于平衡状态，其受力如下图所示，由平衡条件知， N 2与 N 1的合力大小等于 G，将 N 1与 N 2合成，由图知：
N 1= mgcotθ， N 2＝ mg/ sinθ，当θ增大时 cotθ减小， sinθ增大，故 N 1减小， N 2也减小，当θ＝ 90°时， N 1＝ 0， N 2＝ mg.
解法二：极限法
小球受力如上图所示， N 1和 N 2均不为零，当挡板放在水平位置，即θ＝ 90°时， N 1＝ 0，故知 N 1在挡板缓慢放下时应减小．由解法一知初始时 N 2大于 mg，当挡板平放时，小球平衡， N 2＝ mg，故在整个过程中 N 2一直减小最后等于 0， N 1一直减小最后等于 mg.
解法三：图解法
取球为研究对象，受到重力 G，垂直于墙的弹力 N 1和垂直于挡板的弹力 N 2的作用，当挡板与竖直墙壁之间的夹角θ缓慢增加时．物体可以看做处于一系列的动态平衡状态．该过程中墙对球的弹力的方向不变，挡板对球的弹力方向随挡板与墙的夹角θ的增大而不断变化，当θ＝ 90°时， N 2方向变为竖直向上，但在整个变化过程中，由平衡条件知，两个弹力的合力 N大小方向都不变，与向下的重力等大反向．据此可知作出几组平行四边形，反映出 N 1、 N 2的变化情况，如下图所示．当θ逐渐增大时， N 2与竖直方向的夹角逐渐减小， N 2→ N′ 2→ N″ 2；当θ＝ 90°时， N 2＝ N＝ G＝ mg，所以 N 2逐渐减小， N 1逐渐减小．
【答案】 见解析
【方法总结】 动态平衡问题的分析方法：
( 1)解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定应变参量的变化．
( 2)图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况．
图解法适用条件：
质点在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力恒定，一个力的方向不变，第三个力的大小和方向都变化的情况．具体做法是：合成两个变力，其合力与恒力等值反向．
