梯形是一种特殊的四边形，而利用梯形的知识进行有关的计算则是梯形中遇到的常见题型处理梯形的计算问题必须把几何知识与代数知识有机的结合在一起，充分发挥数形结合的作用，必要时要综合利用梯形和其它的知识构造出方程求解，那么涉及梯形常见的计算题型有哪些呢？下面简单地归类说明，供同学们学习梯形的知识参考
一、计算角度的大小问题
例 1、在梯形 ABCD中， DC∥ AB， AD＝ BC，∠ A＝ 60°， BD⊥ AD.求∠ DBC和∠ C的大小.
分析：依据题意可以画出如图 1，由已知条件可知梯形 ABCD是等腰梯形，且底角为 60°，对角线与腰垂直，于是再利用三角形内角和等于 180°即可求解.
解：如图 1，梯形 ABCD中，因为 DC∥ AB，∠ A＝ 60°，所以∠ ADC＝ 120°，
又因为 BD⊥ AD，所以∠ ADB＝ 90°，即∠ ABD＝ 30°，
而 AD＝ BC，所以∠ ABC＝ 60°，∠ C＝∠ ADC＝ 120°，所以∠ DBC＝ 30°.
答：∠ DBC和∠ C的大小分别是 30°和 120°.
二、计算线段的长度问题
例 2、如图 2，已知梯形 ABCD，上底 AD＝ 12，下底 BC＝ 28， EF∥ AB分别交 AD、 BC于点 E、 F，且将梯形分成面积相等的两部分.试求 BF的长.
分析：已知梯形被 EF分成两部分，且一部分是平行四边形，而另一部分仍然是梯形，这两个部分的高是相等，此时可以设 BF＝ x，则 FC＝ 28－ x，则由面积相等构造出方程求解.
解：设 BF＝ x，则 FC＝ 28－ x.又设 AD与 BC间的距离为 h，即梯形和平行四边形 ABFE的 BF边上的高为 h.在梯形 ABCD中，因为 AD∥ BC， EF∥ AB，所以四边形 ABFE是平行四边形，所以 AE＝ BF＝ x， DE＝ 12－ x.
因为平行四边形 ABFE的面积＝ BE× h，梯形 EFCD的面积＝
( DE+ FC)× h，
所以 x× h＝[( 12－ x)+( 28－ x)]× h，解得 x＝ 10，
答： BF的长为 10.
三、确定梯形某边的取值范围
例 3、已知梯形上底长为 2，下底长为 5，一腰长为 4.求另一腰的取值范围
分析：可依据题意画出如图 3，此时不妨设 AD＝ 2， BC＝ 5， CD＝ 4，若要求另一腰 AB的范围，只需将此转化到某一个三角形中来，于是可以利用梯形常用的辅助线，即平移一腰，则过点 A作 AE∥ CD交 BC于点 E，这样再利用三角形的三边关系定理即可求得.
解：如图 3，由已知条件设 AD＝ 2， BC＝ 5， CD＝ 4，过点 A作 AE∥ CD交 BC于点 E，
因为 AD∥ BC，所以四边形 AECD是平行四边形，所以 EC＝ AD＝ 2， AE＝ DC＝ 4，
所以 BE＝ 3，在△ ABE中，由三角形的三边关系定理，得 AE－ BE＜ AB＜ AE+ BE，
所以 4－ 3＜ AB＜ 4+ 3，即 1＜ AB＜ 7.
答：另一腰的取值范围是大于 1而小于 7.
四、求梯形的周长
例 4：如图 4，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ B＝ 90°， AD＝ AB＝ 2，且 BD＝ CD，求梯形 ABCD的周长.
分析：要求梯形 ABCD的周长，已知， AD＝ AB＝ 2，只要根据条件求出 BC和 CD的长即可.
解：因为 AD∥ BC，∠ B＝ 90°， AB＝ AD，所以∠ A＝∠ ABC＝ 90°，∠ ABD＝∠ ADB＝∠ DBC＝ 45°.
又 BD＝ CD，所以∠ BDC＝ 90°.
在 RtΔ ABD中，因为 AD＝ AB＝ 2，所以由勾股定理，得 BD＝
＝ 2
，
而 BD＝ CD，所以 CD＝ 2， Rt△ BDC中，由勾股定理，得 BC＝
＝ 4.即 AB+ BC+ CD+ AD＝ 2+ 4+ 2+ 2＝ 8+ 2.
答：梯形 ABCD的周长是 8+ 2.
五、求图形的面积问题
例 5：如图 5，在梯形 ABCD中， AB∥ CD，对角线 AC⊥ BD，且 AC＝ 4， BD＝ 5，求梯形的面积.
分析：考虑对角线互相垂直，可以利用梯形的一种常见辅助线，即添加梯形对角线的平行线构造□ BDCE和 Rt△ ACE.
解：过点 C作 CE∥ BD交 AB的延长线于点 E.
因为 AB∥ CD，所以四边形 BDCE为平行四边形.因此 CE＝ BD＝ 5， BE＝ DC.
又因为 C到 BE的距离等于 A到 CD的距离，所以△ ACD的面积＝△ BEC面积.
从而梯形 ABCD的面积＝△ AEC的面积.
因为 AC⊥ BD， CE∥ BD，所以 AC⊥ CE，即△ AEC的面积＝× AC× CE＝× 4× 5＝ 10.
答：梯形 ABCD的面积是 10.
六、探索实际问题
例 6：用 20米的篱笆可以围成一个面积为 25平方米的正方形园地，如果用 20米长的篱笆围成一个三边相等且对角线和腰互相垂直的等腰梯形，试问：这个等腰梯形的面积比正方形的面积小多少平方米？
分析：只要求出等腰梯形的面积即可解答问题
解：如图 6，因为 AD∥ BC，且 AB＝ AD，所以∠ ABD＝∠ ADB＝∠ CBD.
而∠ ABC＝∠ C，所以∠ CBD＝∠ ABC＝∠ C.
而∠ BDC＝ 90°，即∠ CBD＝ 30°.
所以∠ C＝ 60°，所以 BC＝ 2 CD.
又 BC+ CD+ DA+ AB＝ 20(米)，所以 5 CD＝ 20(米)，则 CD＝ DA＝ AB＝ 4(米)， BC＝ 8（米）.
所以梯形 ABCD的高为 2
(米)所以梯形 ABCD的面积＝( 4+ 8)× 2＝ 12(平方米)
所以梯形 ABCD的面积比正方形面积小( 25－ 12)平方米
七、费用与图案设计
例 7某生活小区的居民筹集资金 1600元，计划在一块上、下底分别为 10 m、 20 m的梯形空地上种植花木（如图 7）.
（ 1）他们在△ AMD和△ BMC地带上种植太阳花，单价为 8元/ m 2，当△ AMD地带种满花后（图 7中阴影部分），共花了 160元，请计算种满△ BMC地带所需的费用.
（ 2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12元/ m 2和 10元/ m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
分析：（ 1）要计算种满△ BMC地带所需的费用，只要求出△ BMC的面积与△ AMD的面积的比，此时可以作△ BCM的中位线 EF，则知△ FME≌△ AMD，即可知道△ AMD的面积与△ BMC的面积的比是 1∶ 4，从而求出费用；
（ 2）由（ 1）可知△ AMD的面积与△ AMB的面积比是 1∶ 2，而△ AMB的面积等于△ CMD的面积，再由余下的资金即可确定应选择种哪种花木；解：（ 1）如图 6，作△ BCM的中位线 EF，则 EF∥ BC，即 EF∥ AD，且 EF＝ BC＝ 10 m＝ AD，△.所以△ FME的面积等于
△ BMC的面积，并有△ FME≌△ AMD，
所以△ FME的面积等于△ AMD的面积，△ BMC的面积等于△ AMD的面积的 4倍.
而△ AMD的面积是 160元÷ 8元/ m 2＝ 20 m 2，所以△ BMC的面积等于 80 m 2，所以种满△ BMC地带所需的费用 80 m 2× 8元/ m 2＝ 640元.
（ 2）由（ 1）可知 BM＝ 2 DM，即△ AMB的面积是△ AMD的面积的 2倍，所以△ AMB的面积是 40 m 2，
又△ AMB的面积等于△ CMD的面积，所以△ AMB的面积+△ CMD的面积＝ 80 m 2，
而余下的资金是 1600元－ 160元－ 640元＝ 800元，此时有 800元÷ 80 m 2＝ 10元/ m 2，
故应单价为 10元/ m 2的花木，刚好用完所筹集的资金
