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梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形,解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线,将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决.一般而言,梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——
一、平移一腰
从梯形的一个顶点作一腰的平行线,将梯形转化为平行四边形和三角形,从而利用平行四边形的性质,将分散的条件集中到三角形中去,使问题顺利得解.
例 1、如图①,梯形 ABCD中 AD∥ BC, AD= 2 cm, BC= 7 cm, AB= 4 cm,求 CD的取值范围.
解:过点 D作 DE∥ AB交 BC于 E,
∵ AD∥ BC, DE∥ AB
∴四边形 ABED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∴ DE= AB= 4 cm, BE= AD= 2 cm
∴ EC= BC- BE= 7- 2= 5 cm
在△ DEC中, EC- DE< CD< EC+ DE(三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)
∴ 1 cm< CD< 9 cm.
二、延长两腰
将梯形的两腰延长,使之交于一点,把梯形转化为大、小两个三角形,从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题.
例 2、如图②,已知梯形 ABCD中, AD∥ BC,∠ B=∠ C,求证:梯形 ABCD是等腰梯形.
证明:延长 BA、 CD,使它们交于 E点,
∵ AD∥ BC
∴∠ EAD=∠ B,∠ EDA=∠ C(两直线平行,同位角相等)
又∵ B=∠ C
∴∠ EAD=∠ EDA
∴ EA= ED, EB= EC(等角对等边)
∴ AB= DC
∴梯形 ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形).
三、平移对角线
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线,与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形(直角三角形、等腰三角形等).
例 3、如图③,已知梯形 ABCD中, AD= 1.5 cm, BC= 3.5 cm,对角线 AC⊥ BD,且 BD= 3 cm, AC= 4 cm,求梯形 ABCD的面积.
解:过点 D作 DE∥ AC交 BC延长线于 E
∵ AD∥ BC, DE∥ AC
∴四边形 ACED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∴ CE= AD= 1.5 cm, DE= AC= 4 cm
∵ AC⊥ BD
∴ DE⊥ BD
∴ S梯形 ABCD=( h为梯形的高)
.
四、作高线
从梯形上底的一个顶点(或两个顶点)向下底作高线,将特殊梯形(等腰梯形、直角梯形)转化成矩形和直角三角形.
例 4、如图④,已知梯形 ABCD中, DC∥ AB, DA⊥ AB于 A, DC= 1, DA= 2, AB= 3,求∠ B的度数.
解:过 C点作 CE⊥ AB, E为垂足,
∵ DC∥ AB, DA⊥ AB
∴ DA⊥ DC
又∵ CE⊥ AB
∴四边形 AECD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
∴ AE= DC= 1, CE= DA= 2
∵ AB= 3
∴ EB= AB- AE= 3- 1= 2= CE
∴∠ B= 45°(等腰直角三角形锐角度数等于 45°).
五、作对角线
在梯形中将没有画出的对角线作出来,利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)将题目中的条件进行转化,从而解决问题.
例 5、如图⑤,已知梯形 ABCD中, DC∥ AB, AD= BC,延长 AB到 E,使 BE= CD,求证: AC= CE.
证明:连结 BD,
∵ AD与 BC是腰且 AD= BC
∴梯形 ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形)
∴ AC= BD(等腰梯形两条对角线相等)
∵ DC∥ AB即 DC∥ BE, BE= CD
∴四边形 DBEC是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形)
∴ BD= CE(平行四边形对边相等)
∴ AC= CE.
六、过一顶点和一腰中点作直线
过梯形的一个顶点及一腰中点作直线(具体可利用旋转得到),与梯形底边的延长线相交,构成三个特殊三角形(其中两个成中心对称),从而将问题转化到三角形中进行解决.
例 6、如图⑥,已知梯形 ABCD中, AD∥ BC, E是 AB中点, DE⊥ CE,求证: CD= AD+ BC.
证明:将△ AED绕 E点旋转 180°到△ EBF位置,使 AE与 BE重合,记 D的对应点为 F,则 BF= AD, ED= EF,∠ A=∠ EBF,
∵ AD∥ BC
∴∠ A+∠ ABC= 180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠ EBF+∠ ABC= 180°,即 FB与 BC在同一条直线上
∵ CE⊥ DE, ED= EF
∴ CE是 DF的中垂线
∴ CD= CF= CB+ BF= CB+ AD(线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等).