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矩形除了具有平行四边形的性质外,还具有自己独特的性质:对角线相等,四个角都是直角正是其独特的性质,矩形折叠才形态各异,趣味无穷.常见的矩形折叠方式有以下三种方法.
一、沿对角线对折
例 1、如图 1,矩形纸片 ABCD, AB= 2,∠ ADB= 30°,沿对角线 BD折叠(使△ ABD和△ EBD落在同一平面内),则 A、 E两点间的距离为________.
解析:如图 2,连结 AC交 BD于 O,连结 OE、 AE.因为 ABCD是矩形,所以 OA= OC= OB,由题意可知:△ BCD≌△ BED,所以 OC= OE= OA.又因为∠ ADB= 30°,可证明∠ AOB= 60°,所以△ ABO是等边三角形.又∠ AOB=∠ COD=∠ DOE= 60°,
即∠ AOE= 60°,而 OA= OE,所以△ AOE是等边三角形,所以 AE= OA= AB= 2.
二、沿仅过一个矩形顶点的直线对折
例 2、已知矩形纸片 ABCD, AB= 2, AD= 1,将纸片折叠,使顶点 A与边 CD上的点 E重合.如果折痕 FG分别与 AD、 AB交与点 F、 G(如图 3),,
求 DE的长.
解析:在矩形 ABCD中, AB= 2, AD= 1,,∠ D= 90°.根据轴对称的性质可知:.所以 DF= AD- AF=.
在 Rt△ DEF中,.
三.沿矩形对角线的垂直平分线对折
例 3、如图 4,长方形 ABCD中的长 AB= 8,宽 AD= 6,沿过 BD的中点 O的直线对折,使 B与 D点重合,求折痕 EF的长.
解析:连结 BE,由题意可知 EF垂直平分 BD,所以 BE= DE.
又 OB= BD=.
设 BE= DE=,则 CE= 8-.
在直角△ BCE中,由勾股定理可得:,解得.
又在直角△ ODE中,由勾股定理可得:.
而△ DOE≌△ BOF,所以 OE= OF,故 EF=.