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平行四边形的性质很多,结论也多,容易产生思维障碍,主要表现在对性质不熟悉,不能灵活地运用平行四边形的性质,有时不具备条件时,也应用了平行四边形的性质要避免这些错误,必须做到正确理解并熟记性质,认真分析题意,把平行四边形的性质用活
例 1、求证:平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.
已知:如图 1,□ ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O, OE⊥ AB, OF⊥ CD,垂足分别为 E、 F.
求证: OE= OF
错解证明:∵四边形 ABCD为平行四边形,
∴ OA= OC, AB∥ CD,
∴∠ 3=∠ 4.
∵∠ 2=∠ 1,
∴△ OAE≌△ OCF,
∴ OE= OF.
思维诊断:错在用∠ 1=∠ 2,即把∠ 1与∠ 2当成对顶角了,因为 OE、 OF是从 O点分别向 AB、 CD作的两条垂线,而 OE、 OF是否是同一条直线,还需证明,故不能直接利用∠ 1=∠ 2.
证明:∵四边形 ABCD为平行四边形,
∴ OA= OC, AB∥ CD,
∴∠ 3=∠ 4,
∵ OE⊥ AB, OF⊥ CD,
∴∠ AEO=∠ CFO= 90°,
∴△ OAE≌△ OCF,
∴ OE= OF.
说明:⑴出现的错误告诉我们,解题时不能想当然
⑵也可过 O作直线同时与 AB、 CD平行,来证明 E、 O、 F共线.
例 2、如图 2,已知□ ABCD中,过对角线交点 O的直线交 CB、 AD的延长线于 E和 F.
求证: BE= DF.
解析:要证 BE= DF,只要证 CE= AF,而 O是对角线的交点,故有 CO= AO,易证△ ECO≌△ FAO,可得 CE= AF,从而问题得证.
证明:∵ ABCD是平行四边形,∴ AD∥ BC,
∴∠ 1=∠ 2, CO= AO.∠ COE=∠ AOF,
在△ EOC和△ AOF中,
∴△ ECO≌△ FAO,
∴ CE= AF, CB= AD,
∴ CE-CB= AF-AD,
∴ BE= DF.
思维误区:本题误区主要是误以为与互相平分是已知条件,其实只是平行四边形对角线的交点
点评:运用平行四边形的性质解题时,要认真分析题意,对照图形,找准已知条件,切不可似是而非,生编出一些条件来
例 3、错解:对角线平分的四边形是平行四边形.
点击:错误在“对角线平分”不够准确,词意含糊,不知两条对角线怎么平分,应改为“对角线互相平分”
正解:对角线互相平分的四边形是平行四边形
说明:对某些问题的表达,一定要清楚,准确,不能模糊,以免产生错误