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为了开阔同学们的视野,特就一些平行四边形典型问题分类选解几例,希望同学们从中得到启示.
1、证明线段垂直
例 1、已知:如图,在平行四边形 ABCD中, AB= 2 BC, M为 AB的中点,
求证: CM⊥ DM.
分析:根据平行四边形的性质,不仅对角相等,而且相邻角的角也互补,这就为证明垂直提供了充分的条件.又有已知中 AB= 2 BC和 M为 AB的中点,可以得到相等的角.其中有内错角相等,也有等边对等角性质的应用,使∠ CDM+∠ DCM=,可使问题得到解决.
证明:在平行四边形 ABCD中, AB∥ CD, AD= BC,
∴∠ AMD=∠ CDM,∠ BMC=∠ DCM,
∵ AB= 2 BC, M是 AB的中点,
∴ AD= AM= BM= BC.
∴∠ ADM=∠ AMD,∠ BMC=∠ BC M
∴∠ ADM=∠ CDM,∠ BC M=∠ DCM,
∴∠ CDM=∠ ADC,∠ DCM=∠ BCD.
又∠ ADC+∠ BCD=,
∴∠ CDM+∠ DCM=,即∠ DMC=.
∴ CM⊥ DM.
评析:本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质,证明了 CM、 DM所在的三角形两锐角互余,由三角形内角和定理得出∠ DMC=,从而得到结论.这是证明两线段互相垂直的常用方法.
2、证明线段平行
例 2、如图, AB、 CD交于点 O, AC∥ DB, AO= BO, E、 F分别为 OC、 OD的中点,连结 AF、 BE.
求证: AF∥ BE.
分析:从已知条件可证△ AOC≌△ BOD,得到 OC= OD,又有 E、 F为 OC、 OD中点,则 OE= OF,判定四边形 AFBE为平行四边形,即有 AF∥ BE.
证明:连结 BF、 AE,∵ AC∥ DB,∴∠ C=∠ D.
在△ AOC和△ BOD中,有
∴△ AOC≌△ BOD,∴ OC= OD.
又 E、 F为 OC、 OD的中点,
∴ OE= OF,
∴四边形 AFBE是平行四边形,
∴ AF∥ BE.
评析:学习了平行四边形以后,又多了一种证明平行线的方法.
3、证明线段相等
例 3、如图,△ ABC中, AB= AC, P是 BC上的一点, PE∥ AC, PF∥ AB,分别交 AB、 AC于 E、 F,请猜出线段 PE、 PF、 AB之间存在什么关系,并证明你的猜想.
分析:从已知条件中不难证明 PF= AE, PE= BE,从而 PE、 PF、 AB之间满则关系式 PE+ PF= AB.
即猜想结论: PE+ PF= AB.
证明:∵ PE∥ AC,
∴∠ BPE=∠ C.
∵ AB= AC,
∴∠ B=∠ C,
∴∠ BPE=∠ B,
∴ PE= BE.
∴ PE∥ AC, PF∥ AB,
∴四边形 AEPF是平行四边形,
∴ PF= AE.
∵ BE+ AE= AB,
∴ PE+ PF= AB.
评析:在解决此类探索性问题时,一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论,这就是对猜想问题的常用解题思路.
4、求线段的长度
例 4、如图,在四边形 ABCD中, AB= 6, BC= 8,∠ A=,∠ B=,∠ C=,
求 AD的长.
分析:要求 AD的长度,需要借助辅助线把问题转化,由∠ A和∠ B的关系可以判定 AD∥ BC,这样不妨过点 C作 AB的平行线,构成一个平行四边形,然后利用角之间的关系与平行四边形的性质,使问题得以解决.
解:点 C作 CE∥ AB交 AD于 E,
∵∠ A+∠ B=,∴ AD∥ BC,
∴四边形 ABCE是平行四边形.
∴ AE= BC= 8, CE= AB= 6,∠ BCE=∠ A=.
又∵∠ BCD=,∴∠ DCE=.
而∠ D=---=,
∴∠ D=∠ DCE=,∴ DE= CE,
∴ AD= 8+ 6= 14.
评析:在判定 AD∥ BC后,辅助线的添加是解题的关键,虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循,但可以通过分析已知条件与待求结论,从中得到启发,从而正确地作出辅助线.