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在学习了“平行四边形”这部分内容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:
一、考虑“对边”关系
思路 1:证明两组对边分别相等
例 1、如图 1所示,在△ ABC中,∠ ACB 90°, BC的垂直平分线 DE交 BC于 D,交 AB于 E, F在 DE上,并且 AF= CE.
求证:四边形 ACEF是平行四边形.
证明:∵ DE是 BC的垂直平分线,
∴ DF⊥ BC, DB= DC.
∴∠ FDB=∠ ACB= 90°.
∴ DF∥ AC.∴ CE= AE= AB.
∴∠ 1=∠ 2.
又∵ EF∥ AC, AF= CE= AE,
∴∠ 2=∠ 1=∠ 3=∠ F.
∴△ ACE≌△ EFA.
∴ AC= EF.
∴四边形 ACEF是平行四边形.
思路 2:证明两组对边分别平行
例 2、已知:如图 2,在△ ABC中, AB= AC, E是 AB的中点, D在 BC上,延长 ED到 F,使 ED= DF= EB. 连结 FC.
求证:四边形 AEFC是平行四边形.
证明:∵ AB= AC,∴∠ B=∠ ACB.
∵ ED= EB,∴∠ B=∠ EDB.
∴∠ ACB=∠ EDB. ∴ EF∥ AC.
∵ E是 AB的中点,∴ BD= CD.
∵∠ EDB=∠ FDC, ED= DF,
∴△ EDB≌△ FDC. ∴∠ DEB=∠ F.
∴ AB∥ CF.
∴四边形 AEFC是平行四边形.
思路 3:证明一组对边平行且相等
例 3、如图 3,已知平行四边形 ABCD中, E、 F分别是 AB、 CD上的点, AE= CF, M、 N分别是 DE、 BF的中点.
求证:四边形 ENFM是平行四边形.
证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴ AD= BC,∠ A=∠ C.
又∵ AE= CF,∴△ ADE≌△ CBF.
∴∠ 1=∠ 2, DE= BF.
∵ M、 N分别是 DE、 BF的中点,
∴ EM= FN.
∵ DC∥ AB,∴∠ 3=∠ 2.
∴∠ 1=∠ 3. ∴ EM∥ FN.
∴四边形 ENFM是平行四边形.
二、考虑“对角”关系
思路:证明两组对角分别相等
例 4、如图 4,在正方形 ABCD中,点 E、 F分别是 AD、 BC的中点.
求证:( 1)△ ABE≌△ CDF;
( 2)四边形 BFDE是平行四边形.
证明:( 1)在正方形 ABCD中, AB= CD, AD= BC,∠ A=∠ C= 90°,
∵ AE= AD, CF= BC,
∴ AE= CF,
∴△ ABE≌△ CDF.
( 2)由( 1)△ ABE≌△ CDF知,∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4.
∴∠ BED=∠ DFB.
∵在正方形 ABCD中,∠ ABC=∠ ADC,
∴∠ EBF=∠ EDF.
∴四边形 BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路:证明两条对角线相互平分
例 5、如图 5,在平行四边形 ABCD中, P 1、 P 2是对角线 BD的三等分点.
求证:四边形 AP 1 CP 2是平行四边形
证明:连结 AC交 BD于 O.
∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ OA= OC, OB= OD.
∵ BP 1= DP 2,∴ OP 1= OP 2.
∴四边形 AP 1 CP 2是平行四边形