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平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质 证明某些几何题时,若能巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易、化繁为简,证明过程简捷现举例说明:
一、证两线段相等
例 1、已知:如图 1,在四边形 ABCD中, AB= DC, AD= BC, E、 F在对角线 AC上,且 AE= CF.
求证: BE= DF.
证明:连结 BD交 AC于 O,连结 DE、 BF,
∵ AB= DC, AD= BC,
∴四边形 ABCD是平行四边形,
∴ OB= OD, OA= OC,
又∵ AE= CF,
∴ OE= OF,
∴四边形 FBED是平行四边形,
∴ BE= DF.
二、证两线段互相平分
例 2、如图 2,平行四边形 ABCD中, E、 G、 F、 H分别是四条边上的点,且 AE= CF, BG= DH.
求证: EF与 GH相互平分.
证明:连结 HE、 EG、 GF、 FH,
∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴∠ A=∠ C, AD= CB,
又∵ BG= HD,
∴ AH= CG,
又∵ AE= CF,
∴△ HAE≌△ GCF,
∴ HE= FG,
同理可证 HF= EG,
∴四边形 EGFH是平行四边形,
∴ EF与 GH相互平分.
三、证两线段平行
例 3、如图 3,平行四边形 ABCD的对角线 AC和 BD交于 O, E、 F分别为 OB、 OD的中点,过 O任作一直线分别交 AB、 CD于 G、 H.
求证: GF∥ EH.
证明:连结 GE、 FH,
∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴ OA= OC,∠ BAO=∠ DCO,
又∵∠ AOG=∠ COH,
∴△ AOG≌△ COH,
∴ OG= OH,
又∵ OE= OF,
∴四边形 EHFG是平行四边形,
∴ GF∥ EH.
四、证线段的和差关系
例 4、如图 5,在梯形 BCED中, DE∥ BC,延长 BD、 CE交于 A,在 BD上截取 BF= AD,过 F作 FG∥ BC交 EC于 G.
求证: DE+ FG= BC.
证明:过 F点作 FM∥ AC交 BC于点 M,则四边形 FMCG是平行四边形,∠ BFM=∠ A,
∵ DE∥ BC,
∴∠ EDA=∠ B,
又∵ BF= AD,
∴△ BFM≌△ DAE
∴ BM= DE,
∵四边形 FMCG是平行四边形, FG= MC,
∴ DE+ FG= BM+ MC= BC,
五、证线段的倍分关系
例 5、如图 5,已知 AB= AC, B是 AD的中点, E是 AB的中点.
求证: CD= 2 CE.
证明:延长 CE至 F,使 EF= CE,连结 AF、 BF,
∵ E是 AB的中点,
∴四边形 AFBC是平行四边形,
∴ AC∥ BF, AC= BF,
又∵ AB= AC= BD,
∴ BD= BF,
∴∠ DBC=∠ FBC,
又∵ BC= BC,
∴△ DBC≌△ FBC,
∴ CD= CF= 2 CE,
六、证特殊图形
例 6、如图 6,在梯形 ABCD中, AB∥ CD, AC= BD.
求证:梯形 ABCD是等腰梯形.
证明:过 C点作 CE∥ BD交于 AB的延长线于点 E,则四边形 CDBE是平行四边形,
∴ BD= CE,∠ 1=∠ E.
又∵ AC= BD,∴ AC= CE,
∴∠ 2=∠ E.又∵ AB= BA,
∴△ DAB≌△ CBA,
∴ AD= BC.
∴梯形 ABCD是等腰梯形.
七、证面积问题
例 7、如图 7, E是梯形 ABCD腰 DC的中点.
求证: S△ ABE = S梯形 ABCD
证明:过点 E作 MN∥ AB,交 BC于 N,交 AD的延长线于 M,则四边形 ABNM是平行四边形,
∴ S△ ABE = S平行四边形 ABNM
又∵ AD∥ BC, DE= CE,
∴∠ 1=∠ C,∠ M=∠ 2,
∴△ EMD≌△ ENC.
∴ S梯形 ABCD= S平行四边形 ABNM,
∴ S△ ABE= S梯形 ABCD.