【知识点】
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
【例题】
1.若定义在 R上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】因为①，则，即②，故由①-②可得，所以选 D.
2.已知是定义在 R上的偶函数，且以 2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）
（ A）既不充分也不必要的条件（ B）充分而不必要的条件
（ C）必要而不充分的条件（ D）充要条件
【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是 4，所以在区间也为减函数若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选 D.
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
【答案】 D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A非奇非偶的增函数； B是奇函数且是减函数； C是奇函数且在，上是减函数； D中函数可化为易知是奇函数且是增函数故选 D.
4. 已知是奇函数，且，若，则______
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，所以，，
所以.
5.设函数则下列结论错误的是( )
A. D（ x）的值域为{ 0,1}
B. D（ x）是偶函数
C. D（ x）不是周期函数
D. D（ x）不是单调函数
【答案】Ｃ．
【分析】本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定
【解答】 A中，由定义直接可得，的值域为.
B中，定义域为，，所以为偶函数
C中，，所以可以找到 1为的一个周期
D中，，所以不是单调函数
6.已知为奇函数，_______ ．
【答案】 6
【解析】，
又为奇函数，所以.
7.设是定义在 R上的奇函数，当 x≤ 0时，=，则_____
【答案】－ 3
【解析】.
