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【知识点】
1. 等腰三角形的有关概念
如图,△ ABC中,若 AB、 BC、 AC三边中有其中两边相等,则△ ABC称为等腰三角形.
图( 1)中 AB= AC,图( 2)中 AC= BC,图( 3)中 AB= BC.
相等的两边称为等腰三角形的腰,另一边称为等腰三角形的底边;两腰的夹角称为等腰三角形的顶角,另外两个角称为等腰三角形的底角
2. 等腰三角形的轴对称性
等腰△ ABC是一个轴对称图形.它的对称轴就是角平分线 AD所在的直线.(这里要注意到对称轴的概念——直线,要把一般角的平分线——射线与它们区别开)
3.等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一
我们把在上述图形中由等腰三角形 AB= AC这个条件出发,得出的角相等∠ B=∠ C,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等.(也称为:同一个三角形中,等边对等角)
由等腰三角形 AB= AC和顶角平分线∠ BAD=∠ DAC这两个条件出发,得出 BD= CD,∠ BDA=∠ CDA= 90°(即 AD⊥ BC于 D),这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为等腰三角形三线合一.
【例题】
1.在△ ABC中, AB= AC,∠ A= 50°,求∠ B,∠ C的度数.
分析: 根据等腰三角形的性质:两底角相等结合三角形的内角和等于 180°来计算.
解:在△ ABC中,
∵ AB= AC,
∴∠ B=∠ C(在一个三角形中等边对等角)
∵∠ A+∠ B+∠ C= 180°,∠ A= 50°
∴∠ B=∠ C=( 180-50)÷ 2= 130÷ 2= 65°
点评:此题也可以用代数的方法(列方程)来解,其解题依据仍然是:等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为 180°.
2.在等腰三角形 ABC中, AB= AC,周长为 14 cm, AC边上的中线 BD把△ ABC分成了周长差为 4 cm的两个三角形,求△ ABC各边长.
解:设 AD=x,则 DC=x, AB= 2x.设 BC=y.
由题意可以列方程:
解之得: x= 3, y= 2
或
解之得: x=, y=
显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”,所以舍去
所以△ ABC的三边长分别为:
AB= AC= 2 x= 6 cm, BC= y= 2 cm.
3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为 4∶ 1,求这个三角形各角度数.
解:△ ABC中 AB= AC,所以∠ C=∠ B
若∠ BAC∶∠ B= 4∶ 1
则:∠ BAC+∠ B+∠ C= 6∠ B= 180°
所以∠ B= 30°=∠ C,∠ BAC= 120°.
若∠ B∶∠ BAC= 4∶ 1
则:∠ BAC+∠ B+∠ C= 9∠ BAC= 180°
所以∠ BAC= 20°,∠ B=∠ C= 80°.
4.如图,已知:在中,,,,求 的度数
解:由条件易得,,,
且
∴,
又
∴
∴
5.如图,已知:在中, D是 AC上一点,且,求:的度数
解:,
∴,,
∴
6.如图,已知:在等边三角形 ABC中, D、 E分别在 AB和 AC上,且, BE和 CD相交于点 P.求:的度数
解:
∴,
∴,
7.如图,已知:在中,,,点 O在 内,且,求:的度数
解:∵,
∴
∴
8.如图,已知:在 中,,,,求:的度数
解:是等腰三角形,
,
又,,
∴
∴
∴
∴
9.如图,已知:在中,,求:的度数
解:,