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我们知道,勾股定理是初等数学中一个极为重要的定理,运用它来具体解决问题时,若能根据题意,正确地把握数学思想方法,往往可以使我们的解题思路开阔,同时也可以加深对数学概念、公式、定理的理解,那么在运用勾股定理时常用到哪些数学思想呢?笔者认为应注意以下几种数学思想方法的运用:
一、分类讨论思想
例 1、己知直角三角形两边长分别为 5和 12,求第三边的长.
分析:由于题目告知我们说直角三角形两边长分别为 5和 12,并没有说明 5和 12是否都是直角边,所以,我们不能想当然地就直接运用勾股定理得出 5 2+ 12 2= 13 2,实际上, 12可以是斜边也可以是直角边,所以应注意分类讨论.
解:分两种情况:( 1)当 5和 12都是直角边时,那么第三边由勾股定理,得 5 2+ 12 2= 13 2所以第三边为 13.
( 2)当 12是斜边时,第三边的长由勾股定理,得 12 2- 5 2=,所以第三边的长为或 10.
二、方程思想
例 2:如图 1,有一块直角三角形纸板 ABC,两直角边 AC= 6 cm, BC= 8 cm.现将直角边 AC沿直线 AD折叠,使它落在斜边 AB上,且点 C落在点 E处,试求 CD的长.
分析:本题若直接△ ACD运用勾股定理是无法求得 CD的,因为只知道一条边 AC的长,△ ACD和△ AED关于直线 AD对称,因而△ ACD≌△ AED进一步则有 AE= AC= 6 cm, CD= ED, ED⊥ AB,设 CD= ED= xcm,在 Rt△ ACD中由勾股定理即可解.
解:设 CD= ED= xcm,在 Rt△ ACD中,由勾股定理可得 AC 2+ BC 2= 6 2+ 8 2= 100,得 AB= 10 cm,
在 Rt△ BDE中有 x 2+( 10- 6) 2=( 8- x) 2,解得 x= 3,即 CD的长是 3 cm.
三、转换思想
例 3、如图 2,圆柱形玻璃容器高 18 cm,底面周长为 60 cm,在外侧距下底 1 cm的点 A处有一只蜘蛛,与蜘蛛正对的圆柱形容器的伤口外侧开口处 1 cm的点 B处有一只苍蝇,试求急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.
分析:本题是求关于圆柱侧面的最短路线问题,若能巧妙地将问题转化为圆柱侧面展开图其解法妙在将曲线变为直线,构造了直角三角形,为运用勾股定理创造了条件
解:如图 3,将圆柱侧面展开成矩形 MNQP,过点 B作 BC⊥ MN于点 C,连结 AB,则线段 AB的长度即为最短距离.
在 Rt△ ACB中, AC= MN- AN- CM= 18- 1- 1= 16, BC是上底面的半圆周的长,即 BC= 30. 由勾股定理,得 AB 2= AC 2+ BC 2= 16 2+ 30 2= 1156,则 AB= 34.
故蜘蛛所走的最短路线的长度为 34 cm.
四、数形结合思想
例 4:有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚 20 cm,修好后又被风吹杆,因新断处比前次低了 5 cm,且标杆顶着地处比前次远 10 cm,求标杆的高.
分析:要求标杆的高,考虑构造出图形,利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形,充分发挥数形结合的思想方法,进而可求边长或面积
解 依题意作图如 4,数形结合求解,设第一次吹折后下段 AB的长为 xcm,上段 BC的长为 ycm,第二次折后下段 AD的长为( x- 5) cm,上段 DE的长为( y+ 5) cm,依题意得,两式相减得 10( x+ y)= 500,
所以 x+ y= 50.即故标杆的高为 50 cm.