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只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1,系数不等于 0,且含未知数的式子是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式.一元一次不等式和一元一次方程既有密切的联系,又有本质的区别.同学们若能加强它们之间的辨析,则会大大提高学习效率.
一、概念
一元一次方程化成最简形式为 ax= b( a≠ 0).
一元一次不等式化成最简形式为 ax> b或 ax< b( a≠ 0).由此可得,二者化简后都含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数都是 1,未知数的系数均不为零,这是它们的相同点.区别在于一元一次方程表示的是相等关系,等号两边可任意交换位置.如 -2 x= 4也可以写成 4= -2 x,它们的解相同;而一元一次不等式表示的是不等关系,不等号的两边是不能随意交换位置的.如 -2 x> 4就不能写成 4< -2 x,因为这两个不等式是完全不同的.
二、解法
解一元一次不等式和解一元一次方程的步骤完全相同,一般都分为五个步骤:
( 1)去分母;( 2)去括号;( 3)移项;( 4)合并同类项;( 5)把系数化为 1.但要特别注意步骤( 1)和( 5).
解方程时,依据的是等式的性质 2:等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数,所得的结果仍是等式.
解不等式时,则依据的是不等式的性质 2或性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如,两边同除以- 2,得.这时不等号的方向要改变,因为两边同除以的是一个负数.
三、解和解集
一元一次不等式和一元一次方程的解的共同点是:把未知数的值代入到不等式或方程后,都能使不等式或方程成立.区别是解的个数不同,一元一次方程一般只有一个解,而一元一次不等式一般有无数多个解.表示在数轴上则看得更清楚,如方程的解表示在数轴上是一个点(如图 1),而不等式的解表示在数轴上是一条射线(如图 2).
通过下表,同学们可以看得更清楚: