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本章通过面积的计算,引入单项式乘法、多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容,从直观上可以帮助我们理解这些内容,并渗透数形结合思想;通过因数分解 与因式分解的类比,可以帮助我们体会、理解、认识因式分解的意义;对比整式的乘法设置了探索因式分解方法的相关活动,可以帮助我们感受乘法与因式分解之间 的这种逆向恒等变形的价值,下面综述如下:
一、单项式乘单项式
1、单项式的乘法法则:一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
2、运用单项式的乘法法则应注意的事项.
( 1)因为单项式是数字与字母的积,所以,幂的运算性质,乘法交换律、结合律,可作为单项式乘法的依据.
如:( -2 x 2 y) 2·( -5 xy)
= 4 x 4 y 2·( -5 xy)……(据积的乘方)
=[ 4×( -5)]( x 4· x)( y 2· y)……(据乘法交换律、结合律)
= -20 x 5 y 3 ……(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)
( 2)法则分乘式里的系数、相同字母、不同字母三部分.
①积的系数等于各因式系数的积,这是有理数的乘法,应先确定符号,再计算绝对值;
②相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,千万不要把这个因式丢掉;
( 3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用,如:
3 a 2 b·( - 2 ab 2)· 5 abc
=[ 3×( -2)× 5]·( a 2· a· a)·( b· b 2· b)· c
= -30 a 4 b 4 c.
( 4)单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式.
二、单项式乘多项式
1、单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
可用 m( a+ b+ c)= ma+ mb+ mc表示( a、 b、 c都表示单项式).
2、运用单项式与多项式的乘法法则时,应注意:
( 1)单项式与多项式相乘,根据分配律,用单项式乘多项式的各项,就将其转化为单项式的乘法,不可漏乘.
( 2)在确定积的每一项符号时,既要看多项式中每一项的符号,又要看单项式的符号,才能正确确定积的每一项符号.
( 3)非零单项式乘以不含同类项的多项式,乘积仍是多项式;积的项数与所乘多项式的项数相等.
( 4)对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目,要注意运算顺序,也要注意合并同类项,得出最简结果.
3、典例分析:
计算:( 1) 2 xy·( 5 xy 2+ 3 xy -1);
( 2)( a 2 -2 b)·( -3 ab) 2.
分析:( 1)小题单项式为 2 xy,多项式里含三项为: 5 xy 2、 3 xy、 -1,乘积仍为三项;( 2)小题应先算( -3 ab) 2,再用乘法交换律后的计算方法是相同的
解:( 1)原式= 2 xy· 5 xy 2+ 2 xy· 3 xy+ 2 xy·( -1)
= 10 x 2 y 3+ 6 x 2 y 2 -2 xy.
( 2)原式=( a 2 -2 b)· 9 a 2 b 2
= 9 a 2 b 2· a 2+ 9 a 2 b 2·( -2 b)
= 9 a 4 b 2 -18 a 2 b 3.
说明:在解答单项式与多项式相乘问题时,易犯如下错误:
① 出现漏乘,而导致缺项;
② 出现符号错误;
③运算顺序出错,造成计算有错