一、导语
数列是历年高考的重点与难点,以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前 n项和的问题是数列中的中低档难度问题,一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前 n项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列,也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一,这类问题多从数列的本质入手,考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等
二、易错题点评
1.等差数列{ a n}中, a 1+ a 2+ a 3= -24, a 18+ a 19+ a 20= 78,则此数列前 20项和等于()
A. 160
B. 180
C. 200
D. 220
【考场错解】知通项公式 a n= a 1( n -1) d.用 a 1和 d来描述 a 2, a 3, a 18, a 19, a 20求 a 1、 d,再利用等差数列求和,选 C.
【专家把脉】此方法同样可求得解,但解法大繁,花费时间多,计算量大故而出错,应运用数列的性质求解就简易得多
【对症下药】 B
由公式 m+ n= 2 P a m+ a n= 2 a p(只适用等差数列)即可求解由 a 1+ a 2+ a 3= -24,可得: 3 a 2= -24由 a 18+ a 19+ a 20= 78,可得: 3 a 19= 78,即 a 2= -8, a 19= 26
因此,
1.已知数列{ a n}的各项都是正数,且满足: a0= 1, a n+ 1= a n·( 4 - a n), n N.
( 1)证明 a n< a n+ 1< 2, n∈ N.
( 2)求数列{ a n}的通项公式 a n.
【考场错解】 用数学归纳法证明:
( 1) a.当 n= 1时, a0= 1, a 1= a0( 4 - a0)=,∴ a0< a 1< 2,命题正确.
b.假设 n= k时有 a k -1< a k< 2.
则 n= k+ 1时,
a k - a k+ 1= a k -1( 4 - a k -1)- a k( 4 - a k)
= 2( a k -1 - a k)-( a k -1 - a k)( a k -1+ a k)
=( a k -1 - a k)( 4 - a k -1 - a k)
而 a k -1 - a k< 0. 4 - a k -1 - a k> 0,
∴ a k - a k -1< 0.
又 a k -1= a k( 4 - a k)=[ 4 -( a k -2) 2]< 2.
∴ n= k+ 1时命题正确.
由 a、 b知对一切 n∈ N时有 a n< a n+ 1< 2.
( 2) a n+ 1= a n( 4 - a n)=[ -( a n -2) 2+ 4].
∴ 2( a n+ 1 -2)= -( a n -2) 2
∴ a n+ 1 -2=( a n -2) 2
令 b n= a n -2,
∴ b n=-() 1+ 2+…+ 2 n -1·
又∵ b 1= a 1 -2= -.
∴ b n=-() 2 n+ 2 n -1.
即 a n= 2 -() 2 n+ 2 n -1.
[专家把脉]在(Ⅱ)问中求 b n的通项时,运用叠代法最后到 b0而不是 b 1.
[对症下药](Ⅰ)同上,方法二:用数学归纳法证明:
a.当 n= 1时, a0= 1, a 1= a0( 4 - a0)=,
∴ 0< a0< a 1< 2;
b.假设 n= k时有 a k -1< a k< 2成立,
令 f (x)= x( 4 - x),
f (x)在[ 0, 2]上单调递增,
∴由假设有: f( a k -1)< f( a k)< f( 2),
即 a k -1( 4 - a k -1)< a k( 4 - a k) × 2( 4-2),
也即当 x= k+ 1时 a k< a k+ 1< 2成立,
所以对一切 n∈ N,有 a k< a k+ 1< 2
( 2)下面来求数列的通项: a n+ 1= a n( 4 - a n)=[ -( a n -2) 2+ 4],
所以 2( a n+ 1 -2)= -( a n -2) 2
令 b n= a n -2,
则
又 b n= -1,所以 b n=-() 2 n -1,即 a n= 2+ b n= 2 -() 2 n -1
专家会诊 1.要善于运用等差数列的性质:“若 m+ n= p+ q,则 a m+ a n= a p+ a q”;等差数列前 n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题