一线三等角型问题是几何问题中的常见题型，尤其是以等腰三角形或者等边三角形为背景的相似问题更为常见。现将常见模型加以归纳，供同学们学习时参考。
一个角与等腰三角形的底角相等，并且这个角的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交。如图所示：
等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题
【例 1】如图，等边△ ABC中，边长为 6， D是 BC上动点，∠ EDF＝ 60°
（ 1）求证：△ BDE∽△ CFD
（ 2）当 BD＝ 1， FC＝ 3时，求 BE
【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠ B＝∠ C＝∠ EDF＝ 60°。再用外角可证∠ BED＝∠ CDF，可证△ BDE与△ CFD相似排出相似比便可求得线段 BE的长度。
解：（ 1）∵△ ABC是等边三角形，∠ EDF＝ 60°，
∴∠ B＝∠ C＝∠ EDF＝ 60°。
∵∠ EDC＝∠ EDF＋∠ FDC＝∠ B＋∠ BED，
∴∠ BED＝∠ FDC。
∴△ BDE∽△ CFD。
（ 2）∵△ BDE∽△ CFD，
∴
。
∵ BD＝ 1， FC＝ 3， CD＝ 5，
∴ BE＝
。
【例 2】如图，等腰△ ABC中， AB＝ AC， D是 BC中点，∠ EDF＝∠ B，求证：△ BDE∽△ DFE
【思路分析】比较例 1来说区别仅是点 D成为了 BC的中点，所以△ BDE与△ CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD＝ CD的条件可证得△ BDE和△ DFE相似。
解：∵ AB＝ AC，∠ EDF＝∠ B，
∴∠ B＝∠ C＝∠ EDF。
∵∠ EDC＝∠ EDF＋∠ FDC＝∠ B＋∠ BED，
∴∠ BED＝∠ FDC。
∴△ BDE∽△ CFD。
∴
。
又∵ BD＝ CD，
∴
，即
。
∵∠ EDF＝∠ B，
∴△ BDE∽△ DFE。
【例 3】如图，在△ ABC中， AB＝ AC＝ 5 cm， BC＝ 8，点 P为 BC边上一动点（不与点 B、 C重合），过点 P作射线 PM交 AC于点 M，使∠ APM＝∠ B；
（ 1）求证：△ ABP∽△ PCM；
（ 2）设 BP＝ x， CM＝ y．求 y与 x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（ 3）当△ APM为等腰三角形时，求 PB的长．
【思路分析】第（ 1）（ 2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△ APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ ABP∽△ PCM相关的结论。
解：（ 1）∵ AB＝ AC，∠ APM＝∠ B∴∠ APM＝∠ B＝∠ C
∵∠ APC＝∠ APM＋∠ MPC＝∠ B＋∠ BAP
∴∠ BAP＝∠ MPC
∴△ ABP∽△ PCM
（ 2）∵ BP＝ x， CM＝ y， CP＝ 8 - x
∵
∴
∴
（ 3）当 AP＝ PM时，
∵
，∴ PC＝ AB＝ 5。
∴ BP＝ 3。
当 AP＝ AM时，
∵∠ APM＝∠ B＝∠ C，
∴∠ PAM＝∠ BAC，即点 P与点 B重合。
∴ P不与点 B、 C重合。
∴舍去。
当 MP＝ AM时，
∴∠ MAP＝∠ MPA。
∴△ MAP∽△ ABC。
∴
。
∴
，即
。
∴ BP＝
。
点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ ABP和△ PCM中简化运算。
强化训练：
1.如图，在△ ABC中，
，
，
是
边上的一个动点，点
在
边上，且
．
( 1)求证：△ ABD∽△ DCE；
( 2)如果
，
，求
与
的函数解析式，并写出自变量的定义域；
( 3)当点是的中点时，试说明△ ADE是什么三角形，并说明理由．
2.如图，在△ ABC中，
，
，点 D在边 AB上，
，点 E在边 BC上．又点 F在边 AC上，且
．
( 1)求证：△ FCE∽△ EBD；
( 2)当点 D在线段 AB上运动时，是否有可能使
．
如果有可能，那么求出 BD的长．如果不可能请说明理由．
答案：
1.解：（ 1）∵ AB＝ AC∴∠ B＝∠ C
∵∠ ADC＝∠ ADE＋∠ CDE＝∠ B＋∠ BAD∴∠ BAD＝∠ CDE∴△ ABD∽△ DCE
（ 2）∵△ ABD∽△ DCE∴
∵，，
∴
∴
（ 3）∵
，是的中点∴ AD⊥ BC∴∠ DAE＋∠ ADE＝ 90°∵
∴△ ADE是直角三角形
2.解：（ 1）∵ AB＝ AC∴∠ B＝∠ C
∵∠ BED＋∠ DEF＝∠ C＋∠ EFC＝ 90°又∵∴∠ BED＝∠ EFC
∴△ FCE∽△ EBD
（ 2）∵ BD＝ x， BE＝
，
∵△ FCE∽△ EBD∴
若∴
∴
∴
∴ BD不存在
