类型一：
（一）：等长变形问题
例 1、用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2（π－ 2） m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
思路点拨：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长
解：设圆的半径为 rm，则正方形的边长为[ r＋ 2（π－ 2）] m.
则有 2π r＝ 4（ r＋ 2π－ 4）.解得 r＝ 4.
所以铁丝的长为 2π r＝ 8π（ m）.
所以圆的面积是π× 4 2＝ 16π（ m 2），正方形的面积为[ 4＋ 2（π－ 2）] 2＝ 4π 2（ m 2）因为 16π> 4π 2，所以圆的面积大
答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大.
（二）、等体积变形问题
例 2、用直径为 90 mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是 131 mm，高度是 81 mm的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）
思路点拨：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变
解：设截取圆钢的长度为 xmm.
根据题意，得π（
） 2 x＝ 131× 131× 81，
解方程，得 x＝
.
答：截取圆钢的长度为 mm.
（三）、面积变化问题
例 3、将一个长、宽、高分别为 15 cm、 12 cm和 8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为 12 cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较
思路点拨：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可
解析设锻造后长方体的高为 xcm，
依题意，得 15× 12× 8＝ 12× 12 x.
解得 x＝ 10.
锻造前长方体钢坯的表面积为
2×（ 15× 12＋ 15× 8＋ 12× 8）＝ 2×（ 180＋ 120＋ ANOAHDIGITAL 10）＝ ANOAHDIGITAL 11（ cm 2），
锻造后长方体钢坯的表面积为
2×（ 12× 12＋ 12× 10＋ 12× 10）＝ 2×（ 144＋ 120＋ ANOAHDIGITAL 10）＝ ANOAHDIGITAL 11（ cm 2）
因为 792> 768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.
类型二：
1、打折后的商品售价＝商品的原标价×折扣数；
2、常用数量关系：①利润＝售价－进价；②利润率＝利润/进价× 100%；③利润＝进价×利润率；④售价＝进价＋利润＝进价＋进价×利润率.
（一）：求成本价
例 1、一件夹克按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的 8折出售，每件以 60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
思路点拨：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系：标价× 80%＝ 60，
解：设这批夹克每件的成本价为 x元，则标价为（ 1＋ 50%） x元.
根据题意，得（ 1＋ 50%） x· 80%＝ 60.
解得 x＝ 50.
答：这批夹克每件的成本价是 50元.
（二）：求折扣
例 2、书店里每本定价 10元的书，成本是 8元.为了促销，书店决定让利 10%给读者，问该书应打多少折？
思路点拨：本题中的利润为 10－ 8＝ 2（元），因为让利 10%给读者，所以书店的利润为（ 1－ 10%）× 2（元），此时的售价为（ 10×折扣）元.根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程
解：设该书应打 x折，根据题意，得
10×
－ 8＝（ 10－ 8）×（ 1－ 10%）.
解得 x＝ 9.8.
答：该书应打九八折
（三）、求原价
某商场节日酬宾：全场 8折.一种电器在这次酬宾活动中的利润率为 10%，它的进价为 2000元，那么它的原价为多少元？
思路点拨：本题中的利润为（ 2000× 10%）元，销售价为（原价× 80%）元，
根据公式建立起方程即可
解：设原价为 x元，根据题意，得
80% x－ 2000＝ 2000× 10%.
解得 x＝ 2750.
答：它的原价为 2750元.
变式练习：
1.把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形比较 （ ）
A.面积与周长都不变化
B.面积相等但周长发生变化
C.周长相等但面积发生变化
D.面积与周长都发生变化
2.内径长为 300 mm，内高为 32 mm的圆柱形玻璃杯内盛满水，将它里边的水倒入内径长为 120 mm的圆柱形玻璃杯，刚好倒满，则内径长为 120 mm的玻璃杯的内高为（）
A. 150 mm
B. 200 mm
C. 250 mm
D. 300 mm
3.用一根长为 24 cm的铁丝围成一个长与宽的比是 2∶ 1的长方形，则长方形的面积是（）
A. 32 cm 2
B. 36 cm 2
C. 144 cm 2
D.以上都不对
4.某工厂要制造直径长为 120 mm，高为 20 mm的圆钢毛坯，现有的原料是直径长为 60 mm的圆钢若干米，则应取原料的长为（）
A. 50 mm
B. 60 mm
C. 70 mm
D. 80 mm
5.有一个底面半径长为 10 cm，高为 30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把它里边的水倒入一个底面直径长为 10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满 12杯，则小杯的高为____ cm.
6.一件衣服的标价是 132元，若以 9折出售，仍可获利 10%，则这件衣服的进价是（）
A. 106元
B. 105元
C. 118元
D. 108元
7.某人以 8折的价格买下了一套服装，节省了 25元，那么此人买这套服装实际用了（）
A. 31.25元
B. 60元
C. 125元
D. 100元
8.有一家商店把某件商品按进价加 20%作为定价，可是总卖不出去，后来老板按定价减价 20%以 96元出售，很快就卖掉了.这次生意的盈亏情况为（ ）
A.赚了 6元
B.不亏不赚
C.亏了 4元
D.亏了 24元
9.某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利 20%.若这本书的进价为 22元，则标价为（）
A. 31元
B. 32元
C. 33元
D. 35元
10.一种商品，每件成本为 100元，将成本增加 25%作为定价，后因仓库积压减价，按定价的 92%出售，则每件商品还能盈利_____元.
答案：
1. C解析：由将一个长方形改制成一个正方形，得出周长没变，但面积发生了变化.故选 C.
2. B解析：根据题意知，两个玻璃杯的体积相等.设内径长为 120 mm的玻璃杯的内高为 x mm.依题意，得π×（
） 2× 32=π×（
） 2· x，解得 x= 200.所以内径长为 120 mm的玻璃杯的内高为 200 mm.故选 B.
3. A解析：设长方形的宽为 x cm，则长为 2 x cm.根据题意，得 2（ 2 x＋ x）＝ 24，解得 x＝ 4，则 2 x＝ 8，故长方形的面积是 4× 8＝ ANOAHDIGITAL 10（ cm 2）故选 A.
4. D解析：根据制造前、后的体积相等，所取原料的长相当于立起来时的高.设所取原料的长为 x mm.依题意，得π×（） 2× 20=
π×（
） 2 x，解得 x= 80.所以所取原料的长为 80 mm.故选 D.
5. 10解析：倒入前、后水的体积相等.设圆柱形小杯的高为 x cm.依题意可得π× 102× 30=π×（
） 2 x× 12，解得 x= 10.
1. D解析：设这件衣服的进价为 x元，则 132× 90%＝ x（ 1＋ 10%），解得 x＝ 108.故选 D.
2. D解析：设这套服装的原价为 x元，则 x－ 0.8 x＝ 25，解得 x＝ 125.所以实际用了 125－ 25＝ 100（元）.故选 D.
3. C解析：设该件商品的进价为 x元.由题意，得（ 1＋ 20%） x－（ 1＋ 20%） x× 20%＝ 96，解得 x＝ 100.因为 96－ 100＝－ ANOAHDIGITAL 10（元），所以这次生意亏了 ANOAHDIGITAL 11元.故选 C.
4. C解析：设这本书的标价为 x元，则依题意，得 80% x＝ 22×（ 1＋ 20%），解得 x＝ 33.故选 C.
5. 15解析：设每件商品还能盈利 x元.由题意，得 100＋ x＝ 100×（ 1＋ 25%）× 92%，解得 x＝ 15.
