完全平方公式是初中阶段需要掌握的另一个重要的公式，也有一些与图形相结合的问题，这些问题也都利用图形清晰地说明这一结论的几何意义 现选取试题供同学们参考。
例 1．如图的图形面积由以下哪个公式表示（）
A． a 2﹣ b 2＝ a（ a﹣ b）+ b（ a﹣ b）
B．（ a﹣ b） 2＝ a 2﹣ 2 ab+ b 2
C．（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2
D． a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）
【分析】通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
【解答】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（ a+ b） 2，大正方形面积＝ 4个小图形的面积和＝ a 2+ b 2+ ab+ ab，
∴可以得到公式（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2．
故选 C．
【点评】本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．
例 2．图①是一个边长为（ m+ n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）
A．（ m+ n） 2﹣（ m﹣ n） 2＝ 4 mn
B．（ m+ n） 2﹣（ m 2+ n 2）＝ 2 mn
C．（ m﹣ n） 2+ 2 mn＝ m 2+ n 2
D．（ m+ n）（ m﹣ n）＝ m 2﹣ n 2
【分析】根据图示可知，阴影部分的面积是边长为 m+ n的正方形减去中间白色的正方形的面积 m 2+ n 2，即为对角线分别是 2 m， 2 n的菱形的面积．据此即可解答．
【解答】解：（ m+ n） 2﹣（ m 2+ n 2）＝ 2 mn．
故选： B．
【点评】本题是利用几何图形的面积来验证（ m+ n） 2﹣（ m 2+ n 2）＝ 2 mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．
例 3．图①是一个长为 2 m、宽为 2 n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（ 1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法 1：
方法 2：
（ 2）观察图②请你写出下列三个代数式：（ m+ n） 2，（ m﹣ n） 2， mn之间的等量关系． ；
（ 3）根据（ 2）题中的等量关系，解决如下问题：已知： a﹣ b＝ 5， ab＝﹣ 6，求：（ a+ b） 2的值；
【分析】（ 1）表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；
利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；
（ 2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（ 3）根据（ 2）的结论代入进行计算即可得解．
【解答】解：（ 1）方法 1：（ m﹣ n） 2；
方法 2：（ m+ n） 2﹣ 4 mn；
（ 2）（ m﹣ n） 2＝（ m+ n） 2﹣ 4 mn；
故答案为：（ m﹣ n） 2；（ m+ n） 2﹣ 4 mn；（ m﹣ n） 2＝（ m+ n） 2﹣ 4 mn；
（ 3）解：∵ a﹣ b＝ 5， ab＝﹣ 6，
∴（ a+ b） 2＝（ a﹣ b） 2+ 4 ab＝ 5 2+ 4×（﹣ 6）＝ 25﹣ 24＝ 1；
小试牛刀：
练习：如图（ 1）是一个长为 2 m，宽为 2 n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（ 2）形状拼成一个正方形．
（ 1）你认为图（ 2）中的阴影部分的正方形边长是多少？
（ 2）请用两种不同的方法求图（ 2）阴影部分的面积；
（ 3）观察图（ 2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式：（ m+ n） 2，（ m﹣ n） 2， mn．
（ 4）根据（ 3）题中的等量关系，解决下列问题：若 a+ b＝ 7， ab＝ 5，求（ a﹣ b） 2的值．
【参考答案】解：（ 1）阴影部分的正方形边长是 m﹣ n．
（ 2）阴影部分的面积就等于边长为 m﹣ n的小正方形的面积，
方法 1：边长为 m+ n的大正方形的面积减去长为 2 m，宽为 2 n的长方形面积，
即（ m﹣ n） 2＝（ m+ n） 2﹣ 4 mn；
方法 2：边长为 m+ n的大正方形的面积减去长为 2 m，宽为 2 n的长方形面积，
即（ m﹣ n） 2＝（ m+ n） 2﹣ 2 m• 2 n＝（ m+ n） 2﹣ 4 mn；
（ 3）（ m+ n） 2＝（ m﹣ n） 2+ 4 mn．
（ 4）（ a﹣ b） 2＝（ a+ b） 2﹣ 4 ab＝ 49﹣ 4× 5＝ 29．
