平方差公式是初中阶段一个非常重要的知识点，有许多试题与其相关。而利用的图形
能很清晰地说明这一结论的几何意义 现选取试题共同学们参考。
例 1．如图①，从边长为 a的正方形中剪去一个边长为 b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）
A．（ a+ b）（ a﹣ b）＝ a 2﹣ b 2
B．（ a﹣ b） 2＝ a 2﹣ 2 ab+ b 2
C．（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2
D． a 2+ ab＝ a（ a+ b）
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝ a 2﹣ b 2，
矩形的面积＝（ a+ b）（ a﹣ b），
故 a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
故选： A．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
例 2．如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（）
A．（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2
B．（ a﹣ b） 2＝ a 2﹣ 2 ab+ b 2
C．（ a+ b） 2＝（ a+ b） 2﹣ 4 ab
D．（ a+ b）（ a﹣ b）＝ a 2﹣ b 2
【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式：矩形的面积＝正方形的面积﹣空白部分的面积．
【解答】解：如图所示，矩形的面积＝正方形的面积﹣空白部分的面积，则
（ a+ b）（ a﹣ b）＝ a 2﹣ b 2．
故选： D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景．表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
例 3．如图 1，在边长为 a的正方形中剪去一个边长为 b的小正形（ a＞ b），把剩下部分拼成一个梯形（如图 2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）
A． a 2+ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）
B． a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）
C．（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2
D．（ a﹣ b） 2＝ a 2﹣ 2 ab+ b 2
【分析】根据左图中阴影部分的面积是 a 2﹣ b 2，右图中梯形的面积是
（ 2 a+ 2 b）（ a﹣ b）＝（ a+ b）（ a﹣ b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是 a 2﹣ b 2，右图中梯形的面积是（ 2 a+ 2 b）（ a﹣ b）＝（ a+ b）（ a﹣ b），
∴ a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
故选： B．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
例 4．从边长为 a的大正方形纸板中挖去一个边长为 b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（）
A． a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）
B． a 2+ 2 ab+ b 2＝（ a+ b） 2
C． a 2﹣ 2 ab+ b 2＝（ a﹣ b） 2
D．（ a+ b） 2﹣（ a﹣ b） 2＝ 4 ab
【分析】左边阴影的面积等于边长为 a的正方形面积减去边长为 b的正方形面积，即 a 2﹣ b 2，右边平行四边形底边为 a+ b，高为 a﹣ b，即面积＝（ a+ b）（ a﹣ b），两面积相等所以等式成立．
【解答】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，
即甲的面积＝ a 2﹣ b 2，乙的面积＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
∴ a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
所以验证成立的公式为： a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
故选： A．
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明 a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
例 5．如图 1，在边长为 a的正方形中，剪去一个边长为 b的小正方形（ a＞ b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图 2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 a， b的恒等式为（）
A．（ a﹣ b） 2＝ a 2﹣ 2 ab+ b 2
B．（ a+ b） 2＝ a 2+ 2 ab+ b 2
C． a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）
D． a 2+ ab＝ a（ a+ b）
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝ a 2﹣ b 2，
第二个图形面积＝（ a+ b）（ a﹣ b），
则 a 2﹣ b 2＝（ a+ b）（ a﹣ b）．
故选： C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
小试牛刀：
练习（ 1）如图 1，若大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，则阴影部分的面积是 ；若将图 1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图 2的一个矩形，则它长为；宽为；面积为 ．
（ 2）由（ 1）可以得到一个公式：．
（ 3）利用你得到的公式计算： 2018 2﹣ 2019× 2017．
【参考答案】解：（ 1）图①阴影部分的面积为： a 2﹣ b 2，图②长方形的长为 a+ b，宽为 a﹣ b，所以面积为：（ a+ b）（ a﹣ b），
故答案为： a 2﹣ b 2， a+ b， a﹣ b，（ a+ b）（ a﹣ b）；
（ 2）由（ 1）可得：（ a+ b）（ a﹣ b）＝ a 2﹣ b 2，
故答案为：（ a+ b）（ a﹣ b）＝ a 2﹣ b 2；
（ 3） 2018 2﹣ 2019× 2017
＝ 2018 2﹣（ 2018+ 1）（ 2018﹣ 1）
＝ 2018 2﹣ 2018 2+ 1
＝ 1．
