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探索与表达规律( 2

几何图形方面的变化规律:( 1)直接观察图形之间的位置变化或数量变化,获取规律;( 2)将图形所研究的量转化为一列数,由这一列数寻找规律;( 3)观察图形的结构特点,归纳相对于某个基础图形的递推规律,从而将图形转化为一列数或式子,继而探究规律。

典型例题:

1、下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有 2个五角星,第②个图形一共有 8个五角星,第③个图形一共有 18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为()

A50

B64

C68

D72

思路点拨:

每一个图形左右是对称的,

第①个图形一共有 22× 1个五角星,

第②个图形一共有 82×( 1+ 3)= 2× 2 2个五角星,

第③个图形一共有 182×( 1+ 3+ 5)= 2× 3 2个五角星,

…,

则第⑥个图形中五角星的个数为 2× 6 2= 72

故选 D

变式练习:

1、小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图 1中棋子围城三角形,其棵数 36912,…称为三角形数.类似地,图 2中的 4812ANOAHDIGITAL 10,…称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

A2010

B2012

C2014

D2016

思路点拨:观察发现,三角数都是 3的倍数,正方形数都是 4的倍数,所以既是三角形数又是正方形数的一定是 12的倍数,然后对各选项计算进行判断即可得∵ 2010÷ 1216762012÷ 12167ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11÷ ANOAHDIGITAL 12ANOAHDIGITAL 13ANOAHDIGITAL 14ANOAHDIGITAL 15÷ ANOAHDIGITAL 16ANOAHDIGITAL 17

2016既是三角形数又是正方形数。

故选 D

2、若图 1中的线段长为 1,将此线段三等分,并以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图 2,再将图 2中的每一段作类似变形,得到图 3,按上述方法继续下去得到图 4,则图 4中的折线的总长度为().

55c8eb2a

A. 2

B.

C.

D.

思路点拨:寻找规律,从两方面考虑:

1)每个图形中每一条短线段的长:图 2中每一条短线段的长为,图 3中每一条短线段的长为,图 4中每一条短线段的长为

2)每个图形中短线段的根数:图 2中有 4根,图 3中有 16根,图 4中有 64根。

∴图 4中的折线的总长度为

故选 D

变式练习:

1、如图,第①个图形中一共有 1个平行四边形,第②个图形中一共有 5个平行四边形,第③个图形中一共有 11个平行四边形,…则第⑩个图形中平行四边形的个数是()

A54

B110

C19

D109

思路点拨:

第①个图形中有 1个平行四边形;

第②个图形中有 1+ 4= 5个平行四边形;

第③个图形中有 1+ 4+ 6= 11个平行四边形;

第④个图形中有 1+ 4+ 6+ 8= 19个平行四边形;

n个图形中有 1+ 22+ 3+ 4+…+ n)个平行四边形;

则第⑩个图形中有 1+ 22+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ ANOAHDIGITAL 10)= ANOAHDIGITAL 11个平行四边形。

故选 D

3、如图,连接在一起的两个正方形的边长都为 1 cm,一个微型机器人由点 A开始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达 G点时移动了 cm;②当微型机器人移动了 2012 cm时,它停在 点.

思路点拨:

①由图可知,从 A开始,第一次移动到 G点,共经过 ABBCCDDEEFFCCG七条边,所以共移动了 7 cm

②∵机器人移动一圈是 8 cm,而 2012÷ 8= 2514

∴移动 2012 cm,是第 251圈后再走 4 cm正好到达 E点。

变式练习:

1、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖,则第 14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.

思路点拨:画树状图:记第 n个图案中黑色小正方形地砖的块数是 a n,则

a na n1= 4n1)( n= 234,···),

∴( a 2a 1)+( a 3a 2)+( a 4a 3)+···+( a na n1

= 48+···+ 4n1),

n= 14时, a 14 =.

2、平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线,若平面内的不同的 n个点最多可确定 15条直线,则 n的值为.

思路点拨:根据平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线找出规律,再把 15代入所得关系式进行解答即可:

∵平面内不同的两点确定 1条直线,

平面内不同的三点最多确定 3条直线,即

平面内不同的四点最多确定 6条直线,即

∴平面内的不同 n个点最多可确定 15条直线时, n= 6.

2、如图,第( 1)个图有 2个相同的小正方形,第( 1)个图有 2个相同的小正方形,第( 2)个图有 6个相同的小正方形,第( 3)个图有 12个相同的小正方形,第( 4)个图有 ANOAHDIGITAL 10个相同的小正方形,…,按此规律,那么第( n)个图有个相同的小正方形.

第( 1)个图有 2个相同的小正方形, 2= 1× 2

第( 2)个图有 6个相同的小正方形, 6= 2× 3

第( 3)个图有 12个相同的小正方形, 12= 3× 4

第( 4)个图有 20个相同的小正方形, 20= 4× 5

…,

按此规律,第( n)个图有 nn+ 1)个相同的小正方形。