几何图形方面的变化规律：（ 1）直接观察图形之间的位置变化或数量变化，获取规律；（ 2）将图形所研究的量转化为一列数，由这一列数寻找规律；（ 3）观察图形的结构特点，归纳相对于某个基础图形的递推规律，从而将图形转化为一列数或式子，继而探究规律。
典型例题：
例 1、下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有 2个五角星，第②个图形一共有 8个五角星，第③个图形一共有 18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为()
A． 50
B． 64
C． 68
D． 72
思路点拨：
每一个图形左右是对称的，
第①个图形一共有 2＝ 2× 1个五角星，
第②个图形一共有 8＝ 2×（ 1+ 3）＝ 2× 2 2个五角星，
第③个图形一共有 18＝ 2×（ 1+ 3+ 5）＝ 2× 3 2个五角星，
…，
则第⑥个图形中五角星的个数为 2× 6 2= 72。
故选 D。
变式练习：
1、小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1中棋子围城三角形，其棵数 3， 6， 9， 12，…称为三角形数．类似地，图 2中的 4， 8， 12， ANOAHDIGITAL 10，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A． 2010
B． 2012
C． 2014
D． 2016
思路点拨：观察发现，三角数都是 3的倍数，正方形数都是 4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是 12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得∵ 2010÷ 12＝ 167… 6， 2012÷ 12＝ 167… ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11÷ ANOAHDIGITAL 12＝ ANOAHDIGITAL 13… ANOAHDIGITAL 14， ANOAHDIGITAL 15÷ ANOAHDIGITAL 16＝ ANOAHDIGITAL 17，
∴ 2016既是三角形数又是正方形数。
故选 D。
例 2、若图 1中的线段长为 1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图 2，再将图 2中的每一段作类似变形，得到图 3，按上述方法继续下去得到图 4，则图 4中的折线的总长度为().
A. 2
B. 
C. 
D. 
思路点拨：寻找规律，从两方面考虑：
（ 1）每个图形中每一条短线段的长：图 2中每一条短线段的长为
，图 3中每一条短线段的长为
，图 4中每一条短线段的长为
。
（ 2）每个图形中短线段的根数：图 2中有 4根，图 3中有 16根，图 4中有 64根。
∴图 4中的折线的总长度为
。
故选 D。
变式练习：
1、如图，第①个图形中一共有 1个平行四边形，第②个图形中一共有 5个平行四边形，第③个图形中一共有 11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（)
A． 54
B． 110
C． 19
D． 109
思路点拨：
第①个图形中有 1个平行四边形；
第②个图形中有 1+ 4= 5个平行四边形；
第③个图形中有 1+ 4+ 6= 11个平行四边形；
第④个图形中有 1+ 4+ 6+ 8= 19个平行四边形；
…
第 n个图形中有 1+ 2（ 2+ 3+ 4+…+ n）个平行四边形；
则第⑩个图形中有 1+ 2（ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ ANOAHDIGITAL 10）= ANOAHDIGITAL 11个平行四边形。
故选 D。
例 3、如图，连接在一起的两个正方形的边长都为 1 cm，一个微型机器人由点 A开始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达 G点时移动了 cm；②当微型机器人移动了 2012 cm时，它停在 点．
思路点拨：
①由图可知，从 A开始，第一次移动到 G点，共经过 AB、 BC、 CD、 DE、 EF、 FC、 CG七条边，所以共移动了 7 cm；
②∵机器人移动一圈是 8 cm，而 2012÷ 8= 251… 4，
∴移动 2012 cm，是第 251圈后再走 4 cm正好到达 E点。
变式练习：
1、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.
思路点拨：画树状图：记第 n个图案中黑色小正方形地砖的块数是 a n，则
∴ a n－ a n－ 1= 4（ n－ 1）（ n= 2， 3， 4，···），
∴（ a 2－ a 1）＋（ a 3－ a 2）＋（ a 4－ a 3）＋···＋（ a n－ a n－ 1）
= 4＋ 8＋···＋ 4（ n－ 1），
当 n= 14时， a 14 =
.
2、平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的 n个点最多可确定 15条直线，则 n的值为.
思路点拨：根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把 15代入所得关系式进行解答即可：
∵平面内不同的两点确定 1条直线，
，
平面内不同的三点最多确定 3条直线，即
，
平面内不同的四点最多确定 6条直线，即
，
∴平面内的不同 n个点最多可确定 15条直线时， n= 6.
2、如图，第（ 1）个图有 2个相同的小正方形，第（ 1）个图有 2个相同的小正方形，第（ 2）个图有 6个相同的小正方形，第（ 3）个图有 12个相同的小正方形，第（ 4）个图有 ANOAHDIGITAL 10个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（ n）个图有个相同的小正方形．
第（ 1）个图有 2个相同的小正方形， 2= 1× 2，
第（ 2）个图有 6个相同的小正方形， 6= 2× 3，
第（ 3）个图有 12个相同的小正方形， 12= 3× 4，
第（ 4）个图有 20个相同的小正方形， 20= 4× 5，
…，
按此规律，第（ n）个图有 n（ n+ 1）个相同的小正方形。
