三角板是同学们必备的学生工具，是学习中的好帮手。同学们也对它们非常熟悉，而以三角板为背景的试题经常出现在压轴题中，那么同学们应该如何解决这类问题呢？目前同学们使用的三角板就两种，其度数分别为 90°， 45°， 45°； 90°， 30°， 60°。下面选取两例，加以讲解。
例 1．如图，两块三角板摆放在一起，射线 OM平分∠ BOC、 ON平分∠ AOC．
（ 1）求∠ MON的度数；
（ 2）如果（ 1）中，一个三角板绕点 O旋转一定角度，使得∠ AOC＝ 20°，其它条件不变，求∠ MON的度数；
（ 3）如果（ 1）中，一个三角板绕点 O旋转一定角度，使得∠ AOC＝α，（α为锐角），其它条件不变，求∠ MON的度数；
（ 4）如果（ 1）中，一个三角板绕点 O旋转一定角度，使得∠ AOB＝β（β为锐角），其它条件不变，求∠ MON的度数．
【分析】（ 1）根据三角板的度数求出∠ BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ COM与∠ CON的度数，然后根据∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON，代入数据进行计算即可得解；
（ 2）先求出∠ BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ COM与∠ CON的度数，然后根据∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON，代入数据进行计算即可得解；
（ 3）∠ BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ COM与∠ CON的度数，然后根据∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON，代入数据进行计算即可得解；
（ 4）∠ BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ COM与∠ CON的度数，然后根据∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON，代入数据进行计算即可得解；
解：（ 1）∵∠ BOC＝∠ AOB+∠ AOC＝ 90°+ 30°＝ 120°，射线 OM平分∠ BOC，
∴∠ COM＝
∠ BOC＝× 120°＝ 60°，
∵ ON平分∠ AOC，
∴∠ CON＝∠ AOC＝× 30°＝ 15°，
∴∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON＝ 60°﹣ 15°＝ 45°；
（ 2）∵∠ BOC＝∠ AOB+∠ AOC＝ 90°+ 20°＝ 110°，射线 OM平分∠ BOC，
∴∠ COM＝∠ BOC＝
× 110°＝ 55°，
∵ ON平分∠ AOC，
∴∠ CON＝∠ AOC＝× 20°＝ 10°，
∴∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON＝ 55°﹣ 10°＝ 45°；
（ 3）∵∠ BOC＝∠ AOB+∠ AOC＝ 90°+α，射线 OM平分∠ BOC，
∴∠ COM＝∠ BOC＝×（ 90°+α），
∵ ON平分∠ AOC，
∴∠ CON＝∠ AOC＝α，
∴∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON＝
×（ 90°+α）﹣α＝ 45°+α﹣α＝ 45°；
（ 4））∵∠ BOC＝∠ AOB+∠ AOC＝β+ 30°，射线 OM平分∠ BOC，
∴∠ COM＝∠ BOC＝（β+ 30°），
∵ ON平分∠ AOC，
∴∠ CON＝∠ AOC＝× 30°＝ 15°，
∴∠ MON＝∠ COM﹣∠ CON＝
（β+ 30°）﹣ 15°＝β+ 15°﹣ 15°＝β．
【点评】本题考查了角的计算以及旋转的性质，认准图形，准确表示出∠ COM与∠ CON的度数是解题的关键，此题规律性较强，是不错的好题．
例 2．点 O为直线 AB上一点，过点 O作射线 OC，使∠ BOC＝ 65°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O处．
（ 1）如图①，将三角板 MON的一边 ON与射线 OB重合时，则∠ MOC＝；
（ 2）如图②，将三角板 MON绕点 O逆时针旋转一定角度，此时 OC是∠ MOB的角平分线，求旋转角∠ BON和∠ CON的度数；
（ 3）将三角板 MON绕点 O逆时针旋转至图③时，∠ NOC＝
∠ AOM，求∠ NOB的度数．
【分析】（ 1）根据∠ MON和∠ BOC的度数可以得到∠ MON的度数．
（ 2）根据 OC是∠ MOB的角平分线，∠ BOC＝ 65°可以求得∠ BOM的度数，由∠ NOM＝ 90°，可得∠ BON的度数，从而可得∠ CON的度数．
（ 3）由∠ BOC＝ 65°，∠ NOM＝ 90°，∠ NOC＝
∠ AOM，从而可得∠ NOC的度数，由∠ BOC＝ 65°，从而得到∠ NOB的度数．
【解答】解：（ 1）∵∠ MON＝ 90°，∠ BOC＝ 65°，
∴∠ MOC＝∠ MON﹣∠ BOC＝ 90°﹣ 65°＝ 25°．
故答案为： 25°．
（ 2）∵∠ BOC＝ 65°， OC是∠ MOB的角平分线，
∴∠ MOB＝ 2∠ BOC＝ 130°．
∴∠ BON＝∠ MOB﹣∠ MON＝ 130°﹣ 90°＝ 40°．
∠ CON＝∠ COB﹣∠ BON＝ 65°﹣ 40°＝ 25°．
（ 3）∵∠ NOC＝∠ AOM，
∴∠ AOM＝ 4∠ NOC．
∵∠ BOC＝ 65°，
∴∠ AOC＝∠ AOB﹣∠ BOC＝ 180°﹣ 65°＝ 115°．
∵∠ MON＝ 90°，
∴∠ AOM+∠ NOC＝∠ AOC﹣∠ MON＝ 115°﹣ 90°＝ 25°．
∴ 4∠ NOC+∠ NOC＝ 25°．
∴∠ NOC＝ 5°．
∴∠ NOB＝∠ NOC+∠ BOC＝ 70°．
【点评】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
现在就练：
如图 1， O为直线 AB上一点，过点 O作射线 OC，∠ AOC＝ 30°，将一直角三角板（∠ M＝ 30°）的直角顶点放在点 O处，一边 ON在射线 OA上，另一边 OM与 OC都在直线 AB的上方，将图 1中的三角板绕点 O以每秒 3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（ 1）几秒后 ON与 OC重合？
（ 2）如图 2，经过 t秒后， OM恰好平分∠ BOC，求此时 t的值．
（ 3）若三角板在转动的同时，射线 OC也绕 O点以每秒 6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间 OC平分∠ MOB？请画图并说明理由．
参考答案：
解：（ 1）∵ 30÷ 3＝ 10，
∴ 10秒后 ON与 OC重合；
（ 2）∵∠ AON+∠ BOM＝ 90°，∠ COM＝∠ MOB，
∵∠ AOC＝ 30°，
∴∠ BOC＝ 2∠ COM＝ 150°，
∴∠ COM＝ 75°，
∴∠ CON＝ 15°，
∴∠ AON＝∠ AOC﹣∠ CON＝ 30°﹣ 15°＝ 15°，
解得： t＝ 15°÷ 3°＝ 5秒；
（ 3）∵∠ AON+∠ BOM＝ 90°，∠ BOC＝∠ COM，
∵三角板绕点 O以每秒 3°的速度，射线 OC也绕 O点以每秒 6°的速度旋转，
设∠ AON为 3 t，∠ AOC为 30°+ 6 t，
∴∠ COM为
（ 90°﹣ 3 t），
∵∠ BOM+∠ AON＝ 90°，
可得： 180°﹣（ 30°+ 6 t）＝
（ 90°﹣ 3 t），
解得： t＝
秒；
如图：
