用字母表示数可以把数或数量关系简明地表示出来，使我们更容易理解这些知识，给运算带来方便。所以我们把数或表示数的字母连接而成的式子叫做“代数式”。
代数式有如下三个特征:( 1)代数式是运用符号把数或表示数的字母连接而成的式子；（ 2）单独的一个数或一个字母也是代数式；（ 3）代数式中不含等号.
在代数式中有有一个重要的成员：整式。
整式：单项式、多项式统称为整式。
概念复习：
1、单项式：由数与字母或字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
2、多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数就叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项
经典例题：
例 1、把下列代数式的代号填在相应的横线上：① a 2 b+ ab 2;②
x-x 2+ 1;③
;④
;⑤ 0;⑥ - x+
;⑦ a 2+ ab 2+ b 3;⑧
;⑨ 3 x 2+
.
( 1)单项式：________________________；
( 2)多项式：________________________;
( 3)整式:___________________________;
( 4)三次多项式：_____________________；
( 5)非整式：__________________________.
思路点拨：准确掌握整式、单项式、多项式等的有关概念以及系数次数的确定。
答案：
单项式：④__⑤__；
多项式：① ② ③__⑥ ⑦__;
整式:___① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦__;
三次多项式：①__⑦__；
非整式： ⑧ ⑨_
例 2、指出多项式 2 x 3 y -4 y 2+ 5 x 2的项、次数、并说明它是几次几项式，然后把它按 x的降幂排列、按 y的升幂排列.
思路点拨：解本题的关键是要弄清楚几个概念：多项式的项、次数、按某一字母的降幂排列、按某一字母的升幂排列
解：多项式 2 x 3 y -4 y 2+ 5 x 2的项有： 2 x 3 y， -4 y 2，+ 5 x 2；次数是： 4；它是四次三项式.
按 x的降幂排列： 2 x 3 y+ 5 x 2 -4 y 2；按 y的升幂排列： -4 y 2+ 2 x 3 y+ 5 x 2.
例 3、观察下列一串单项式的特点： xy ,-2 x 2 y ,4 x 3 y ,-8 x 4 y ,16 x 5 y,...
( 1)按此规律写出第 9个单项式；
( 2)试猜想第 n个单项式为多少？它们的系数和次数分别是多少？
思路点拨：（ 1）通过观察可得： x的指数为 n， y的指数为 1， 2的指数为 n -1，当 n为偶数时，单项式系数为负数，当 n为奇数时，单项式系数为正数.由此可解出本题；
（ 2）根据单项式的系数是指单项式的数字因数，次数是所有字母指数的和解答即可。
解：（ 1）第 9个单项式是 2 9-1 x 9 y,即 256 x 9 y;
（ 2）第 n个单项式为（ -1） n+ 1 2 n -1,次数： n+ 1.
例 4、已知多项式
是七次多项式，单项式
与该多项式的次数相同，试求 m， n的值.
思路点拨：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，已知多项式与单项式次数相同，都是 7次，因此是最高次
项，由此得到： 2+ m+ 1= 7，从而确定 m的值；又单项式的次数也是 7次，由此可以确定 n的值。
解：因为 多项式是 7次多项式，
所以 2+ m+ 1= 7,所以 m= 4.
又因为 单项式的次数与多项式的次数相同，
所以 2 n+ 6 - m= 7,所以 n= 2.5
例 5、已知代数式 ax 5+ bx 3+ 3 x+ c,当 x= 0时，该式的值为 -1.
（ 1）求 c的值；
（ 2）已知当 x= 1时，该式的值为 -1，试求 a+ b+ c的值；
（ 3）已知当 x= 3时，该式的值为 -10，试求当 x= -3时该式的值；
（ 4）在第（ 3）题的已知条件下，若有 3 a= 5 b成立，试比较 a+ b与 c的大小.
思路点拨：（ 1）将 x= 0代入代数式求出 c的值即可；
（ 2）将 x= 1代入代数式即可求出 a+ b+ c的值；
（ 3）将 x= 3代入代数式求出代数式的值，再将 x= -3代入代数式，变形后即可；
（ 4）与（ 3）的方法相同；
解：（ 1）把 x= 0代入代数式 ax 5+ bx 3+ 3 x+ c，得到 c= -1;
（ 2）把 x= 1代入代数式 ax 5+ bx 3+ 3 x+ c，得到 a+ b+ 3+ c= -1,所以 a+ b+ c= -4;
（ 3）把 x= 3代入代数式 ax 5+ bx 3+ 3 x+ c，得到 3 5 a+ 3 3 b+ 9+ c= -10,即 3 5 a+ 3 3 b= -18.
当 x= -3时，原式= -3 5 a -3 3 b -9-1= 8.
（ 4）由（ 3）得到 3 5 a+ 3 3 b= -18，即 27 a+ 3 b= -2.
又因为 3 a= 5 b，即 b=
,所以 a=
, b=
.
所以 a+ b= -
> -1.
所以 a+ b> c.
能力提升：
例 6、观察下列等式：
第 1个等式： a 1=
=
×
;
第 2个等式： a 2=
=×
;
第 3个等式： a 3=
=×
;
第 4个等式： a 4=
=×
;
请解答下列问题：
（ 1）按以上规律列出第 5个等式:__________________；
（ 2）用含有 n的代数式表示第 n个等式：___________________；
（ 3）求 a 1+ a 2+ a 3+ a 4++ a 100的值
思路点拨：（ 1）通过观察可知，第一个等号后面的式子的规律是：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的 2倍减 1和序号的 2倍加 1，（ 3）运用变化规律计算即可。
解：（ 1） a 5=
=×
;
( 2) a n=
=×
;
( 3) a 1+ a 2+ a 3+ a 4++ a 100=×+×+×++×
=
.
变式练习：
1、已知代数式 x 2+ x+ 1的值是 8，那么代数式 4 x 2+ 4 x+ 9的值是__________；
2、如果多项式 4 x 4+ 4 x 2-与 3 x n+ 2+ 5 x的次数相同，求代数式 3 n -4的值.
答案:
1、 37；
2、 n= 4,则代数式的值为： 8.
