刚进初中的同学们，第一次接触到比较抽象的概念：数轴、相反数、绝对值。

什么是数轴？它有什么特征；什么是相反数？它好理解吗？什么是绝对值？它的几何意思是什么？今天我们就来一一解答。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。实数 a与 - a互为相反数， 0的相反数仍是 0；绝对值的几何意义：表示这个数所对应的点到原点的距离。 0和正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数。

数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具。绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题。

经典例题：

例 1、下列所画的数轴中正确的有（）

思路点拨：

利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误。

答案： D.

例 2、如图，数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等.

（ 1）已知点 A表示 -4，点 G表示 8，则点 B表示的有理数是_______,表示原点的是点_______;

（ 2）在（ 1）的条件下，图中的数轴上另有点 M到点 A、点 G的距离之和为 13，则这样的点 M表示的有理数是___________；

（ 3）若将原点取在点 D，则点 C表示的有理数是_________，此时点 B与点____表示的有理数互为相反数。

思路点拨：

（ 1）先根据数轴上两点之间的距离公式求出点 A到点 G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；

（ 2）设点 M表示的有理数是 m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出 m的值；

（ 3）根据相邻两点间的距离是 2，可求出点 C的坐标，再根据相反数的定义即可解答。

解：（ 1）因为数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点 A表示 -4，点 G表示 8，所以 AG= 12，则相邻两点之间的距离为 2.

所以点 B表示的有理数是 -2，点 C表示的有理数是 0.

（ 2）设点 M表示的有理数是 m，则，所以 m= -4.5或 m= 8.5.

（ 3）若将原点取在点 D，因为每两点之间的距离为 2，所以点 C表示的有理数是 -2.

因为点 B与点 F在原点 D的两侧且到原点的距离相等，

此时点 B与点 F表示的有理数互为相反数。

答案： -2， F.

例 3、已知，求 ab+ c的值.

思路点拨：根据非负数的性质求出 a、 b、 c的值，再将它们代入 ab+ c中求解即可。

解：因为，

所以 a+ 3.5= 0， b -9= 0， c -13.5= 0.

所以 a= -3.5， b= 9， C= 13.5.

所以 ab+ c= -18.

非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零。

例 4、小明和小红在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：当式子取最小值时，相应的 x的取值范围为_________________,最小值是_________________.

小红说：“如果去掉绝对值，问题就变得简单了。”小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”

他们把数轴分成三段： x< -1， -1≤ x≤ 2和 x> 2，经研究发现，当 -1≤ x≤ 2时，原式的值的最小为 3.

请你根据他们的解题方法解决下面的问题：

（ 1）当式子取最小值时，相应的 x的取值范围是____________；最小值是______________.

（ 2）已知，求 y的最大值.

思路点拨：

（ 1）画出数轴，根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上线段的长度，根据线段上的点与线段端点的距离和最小；

（ 2）根据两个绝对值，可得分类的标准，在每一段范围内求得答案即可。

解：（ 1）当式子取最小值时，

相应的 x的取值范围是 4≤ x≤ 6时，最小值是 8.

（ 3）当 x≥ -2时， y= 2 x+ 8-4 x -8= -2 x,当 x= -2时， y最大值为 4；

当 -4≤ x≤ -2时， y= 2 x+ 8+ 4 x+ 8= 6 x+ 16，当 x= -2时， y最大值为 4；

当 x≤ -4时， y= -2 x -8+ 4 x+ 8= 2 x，当 x= -4时， y最大值为 -8.

综上所述，当 x= -2时， y有最大值 4.

绝对值问题除了从数的角度去理解外，还要能从形的角度去理解，数形结合和分类讨论结合起来用效果比较好。

能力提高：

1、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： 4与 -2， 3与 5， -2与 -6， -4与 3，回答下列问题：

（ 1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

（ 2）若数轴上的点 A表示的数为 x，点 B表示的数为 -1，则点 A与点 B两点间的距离可以表示为________________________；

（ 3）结合数轴求得的最小值为_____________，取得最小值时 x的取值范围为____________________.

（ 4）满足的 x的取值范围为_______________.

答案：

（ 1）相等；

（ 2）结合数轴，分以下三种情况：

当 x≤ -1时，距离为 - x -1；

当 -1< x≤ 0时，距离为 x+ 1；

当 x> 0时，距离为 x+ 1.

综上所述：点 A与点 B两点间的距离可以表示为;

（ 3） 5； -3≤ x≤ 2；

（ 4） x> -1或 x< -4.

方法提升：

借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上的距离问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种互相转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，表示的几何意义就是在数轴上表示数 a与数 b的两点之间的距离，这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（ 3）（ 4）这两道难题。