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一元一次方程

问题 1:什么是方程?什么是一元一次方程?

典型例题:

1、判断下列各式是不是方程;若不是,请说明理由.

( 1) 4× 53× 71;( 2) 2 x5 y3;( ANOAHDIGITAL 10) ANOAHDIGITAL 11ANOAHDIGITAL 12 xANOAHDIGITAL 13

( 4);( 5) 2 x3.

分析:根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可.

解:( 1)不是,因为不含有未知数;

( 2)是方程;

( 3)不是,因为不是等式;

( 4)是方程;

( 5)不是,因为不是等式.

小结:本题考查的是方程的概念,方程是含有未知数的等式,在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.

2、下列方程中是一元一次方程的有()

Ax3y2

B13( 12 x)=- 2( 53 x)

Cx1

D. 22 y7

分析: A.含有两个未知数,不是一元一次方程,错误; B.化简后含有未知数项可以消去,不是方程,错误; C.分母中含有字母,不是一元一次方程,错误; D.符合一元一次方程的定义,正确.故选 D.

小结:判断一元一次方程需满足三个条件:( 1)只含有一个未知数;( 2)未知数的次数是 1;( 3)是整式方程.

3、方程( m1) x| m|10是关于 x的一元一次方程,则()

Am=± 1

Bm1

Cm=- 1

Dm≠- 1

分析:由一元一次方程的概念,一元一次方程必须满足未知数的次数为 1且系数不等于 0,所以

解得 m1.故选 B.

小结:解决此类问题要明确:若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1且系数不为 0,则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.

问题 2:方程的解

4、下列方程中,解为 x2的方程是()

A3 x23

B.- x62 x

C42( x1)= 1

D. x10

分析: A.x2时,左边= 3× 224≠右边,错误; B.x2时,左边=- 264,右边= 2× ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11,左边=右边,即 xANOAHDIGITAL 12是该方程的解,正确; C.xANOAHDIGITAL 13时,左边= ANOAHDIGITAL 14ANOAHDIGITAL 15×( ANOAHDIGITAL 16ANOAHDIGITAL 17)= ANOAHDIGITAL 18≠右边,错误; D.xANOAHDIGITAL 19时,左边=× 212≠右边,错误.故选 B.

小结:检验一个数是否是方程的解,就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.

问题 5、列方程

5、某文具店一支铅笔的售价为 1.2元,一支圆珠笔的售价为 2元.该店在“ 6· 1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打 8折出售,圆珠笔按原价打 9折出售,结果两种笔共卖出 60支,卖得金额 87元.若设铅笔卖出 x支,则依题意可列得的一元一次方程为()

A1.2× 0.8 x2× 0.9( 60x)= 87

B1.2× 0.8 x2× 0.9( 60x)= 87

C2× 0.9 x1.2× 0.8( 60x)= 87

D2× 0.9 x1.2× 0.8( 60x)= 87

分析:设铅笔卖出 x支,根据“铅笔按原价打 8折出售,圆珠笔按原价打 9折出售,结果两种笔共卖出 60支,卖得金额 87元”,得出等量关系: x支铅笔的售价+( 60x)支圆珠笔的售价= 87,据此列出方程为 1.2× 0.8 x2× 0.9( ANOAHDIGITAL 10x)= ANOAHDIGITAL 11.故选 B.

问题 6:等式的性质对等式进行变形;

6、用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.

1)如果 2 x+ 7= 10,那么 2 x= 10 -_______;

2)如果 -3 x= 8,那么 x=________;

3)如果 xy,那么 x=_____;

4)如果2,那么 a=_______.

分析:( 1)根据等式的基本性质( 1),在等式两边同时减去 7可得 2 x= 10-7

2)根据等式的基本性质( 2),在等式两边同时除以 -3可得 x=

3)根据等式的基本性质( 1),在等式两边同时加上可得 x= y

4)根据等式的基本性质( 2),在等式两边同时乘以 4可得 a= 8

故答案为: 7-8 3y8

小结:运用等式的性质,可以将等式进行变形,变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算,否则就会破坏原来的相等关系。

7、已知 mx= my,下列结论错误的是()

Ax= y

Ba+ mx= a+ my

Cmx-y= my-y

Damx= amy

分析: A、等式的两边都除以 m,根据等式性质 2m0,而 A选项没有说明,故 A错误; B、符合等式的性质 1,正确. C、符合等式的性质 1,正确. D、符合等式的性质 1,正确.故选 A

小结:本题主要考查等式的基本性质.在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立,这里的数或字母没有条件限制,但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时,这里的数或字母必须不为 0

问题 7、利用等式的性质解方程

8、用等式的性质解下列方程:

14 x+ 7= 3

2 x - x= 4

分析:( 1)在等式的两边都加或都减 7,再在等式的两边都除以 4,可得答案;

2)在等式的两边都乘以 6,在合并同类项,可得答案.

解:( 1)方程两边都减 7,得 4 x= -4

方程两边都除以 4,得 x= -1

2)方程两边都乘以 6,得 3 x -2 x= 24x= 24

问题 9、利用合并同类项解简单的一元一次方程

9、解下列方程:

( 1) 9 x5 x8

( 2) 4 x6 xx15.

分析:先将方程左边的同类项合并,再把未知数的系数化为 1.

解:( 1)合并同类项,得 4 x8.

系数化为 1,得 x2.

( 2)合并同类项,得- 3 x15.

系数化为 1,得 x=- 5.

小结:解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为 xa的形式.

问题 10、根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题

10、足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为 35,一个足球表面一共有 32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个?

分析:遇到比例问题时可设其中的每一份为 x,本题中已知黑、白皮块数目比为 35,可设黑色皮块有 3 x个,则白色皮块有 5 x个,然后利用相等关系“黑色皮块数+白色皮块数= 32”列方程.

解:设黑色皮块有 3 x个,则白色皮块有 5 x个,

根据题意列方程 3 x5 x32

解得 x4

则黑色皮块有 3 x12(个),

白色皮块有 5 x20(个).

答:黑色皮块有 12个,白色皮块有 20个.

小结:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的数量关系,列出方程,再求解.此题的关键是要知道相等关系为:黑色皮块数+白色皮块数= 32,并能用 x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来.

问题 11、利用去括号解一元一次方程

11、解下列方程:

( 1) 4 x3( 5x)= 6

( 2) 5( x8)- 56( 2 x7).

分析:先去括号,再移项,合并同类项,系数化为 1即可求得答案.

解:( 1)去括号得 4 x153 x6

移项合并同类项得 7 x21

系数化为 1x3

( 2)去括号得 5 x40512 x42

移项、合并得- 7 x=- 77

系数化为 1x11.

小结:解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.在具体解方程时,不论进行到哪一步,只要得出方程的解,下面的步骤就不用再进行了.

12、已知关于 x的方程 3 ax3的解为 2,求代数式(- a) 22 a1的值.

解析:此题可将 x2代入方程,得出关于 a的一元一次方程,解方程即可求出 a的值,再把 a的值代入所求代数式计算即可.

解:∵ x2是方程 3 ax3的解,

3 a213

解得 a2

∴原式= a 22 a12 22× 211.

小结:此题考查方程解的意义及代数式的求值.将未知数 x的值代入方程,求出 a的值,然后将 a的值代入整式即可解决此类问题.