问题 1:什么是方程?什么是一元一次方程?
典型例题:
例 1、判断下列各式是不是方程;若不是,请说明理由.
( 1) 4× 5= 3× 7- 1;( 2) 2 x+ 5 y= 3;( ANOAHDIGITAL 10) ANOAHDIGITAL 11- ANOAHDIGITAL 12 x> ANOAHDIGITAL 13;
( 4);( 5) 2 x+ 3.
分析:根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可.
解:( 1)不是,因为不含有未知数;
( 2)是方程;
( 3)不是,因为不是等式;
( 4)是方程;
( 5)不是,因为不是等式.
小结:本题考查的是方程的概念,方程是含有未知数的等式,在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.
例 2、下列方程中是一元一次方程的有()
A. x+ 3= y+ 2
B. 1- 3( 1- 2 x)=- 2( 5- 3 x)
C. x- 1=
D. - 2= 2 y- 7
分析: A.含有两个未知数,不是一元一次方程,错误; B.化简后含有未知数项可以消去,不是方程,错误; C.分母中含有字母,不是一元一次方程,错误; D.符合一元一次方程的定义,正确.故选 D.
小结:判断一元一次方程需满足三个条件:( 1)只含有一个未知数;( 2)未知数的次数是 1;( 3)是整式方程.
例 3、方程( m+ 1) x| m|+ 1= 0是关于 x的一元一次方程,则()
A. m=± 1
B. m= 1
C. m=- 1
D. m≠- 1
分析:由一元一次方程的概念,一元一次方程必须满足未知数的次数为 1且系数不等于 0,所以,
解得 m= 1.故选 B.
小结:解决此类问题要明确:若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1且系数不为 0,则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.
问题 2:方程的解
例 4、下列方程中,解为 x= 2的方程是()
A. 3 x- 2= 3
B.- x+ 6= 2 x
C. 4- 2( x- 1)= 1
D. x+ 1= 0
分析: A.当 x= 2时,左边= 3× 2- 2= 4≠右边,错误; B.当 x= 2时,左边=- 2+ 6= 4,右边= 2× ANOAHDIGITAL 10= ANOAHDIGITAL 11,左边=右边,即 x= ANOAHDIGITAL 12是该方程的解,正确; C.当 x= ANOAHDIGITAL 13时,左边= ANOAHDIGITAL 14- ANOAHDIGITAL 15×( ANOAHDIGITAL 16- ANOAHDIGITAL 17)= ANOAHDIGITAL 18≠右边,错误; D.当 x= ANOAHDIGITAL 19时,左边=× 2+ 1= 2≠右边,错误.故选 B.
小结:检验一个数是否是方程的解,就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.
问题 5、列方程
例 5、某文具店一支铅笔的售价为 1.2元,一支圆珠笔的售价为 2元.该店在“ 6· 1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打 8折出售,圆珠笔按原价打 9折出售,结果两种笔共卖出 60支,卖得金额 87元.若设铅笔卖出 x支,则依题意可列得的一元一次方程为()
A. 1.2× 0.8 x+ 2× 0.9( 60+ x)= 87
B. 1.2× 0.8 x+ 2× 0.9( 60- x)= 87
C. 2× 0.9 x+ 1.2× 0.8( 60+ x)= 87
D. 2× 0.9 x+ 1.2× 0.8( 60- x)= 87
分析:设铅笔卖出 x支,根据“铅笔按原价打 8折出售,圆珠笔按原价打 9折出售,结果两种笔共卖出 60支,卖得金额 87元”,得出等量关系: x支铅笔的售价+( 60- x)支圆珠笔的售价= 87,据此列出方程为 1.2× 0.8 x+ 2× 0.9( ANOAHDIGITAL 10- x)= ANOAHDIGITAL 11.故选 B.
问题 6:等式的性质对等式进行变形;
例 6、用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.
( 1)如果 2 x+ 7= 10,那么 2 x= 10 -_______;
( 2)如果 -3 x= 8,那么 x=________;
( 3)如果 x−= y−,那么 x=_____;
( 4)如果= 2,那么 a=_______.
分析:( 1)根据等式的基本性质( 1),在等式两边同时减去 7可得 2 x= 10-7;
( 2)根据等式的基本性质( 2),在等式两边同时除以 -3可得 x=;
( 3)根据等式的基本性质( 1),在等式两边同时加上可得 x= y;
( 4)根据等式的基本性质( 2),在等式两边同时乘以 4可得 a= 8.
故答案为: 7, -8 3, y, 8.
小结:运用等式的性质,可以将等式进行变形,变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算,否则就会破坏原来的相等关系。
例 7、已知 mx= my,下列结论错误的是()
A. x= y
B. a+ mx= a+ my
C. mx-y= my-y
D. amx= amy
分析: A、等式的两边都除以 m,根据等式性质 2, m≠ 0,而 A选项没有说明,故 A错误; B、符合等式的性质 1,正确. C、符合等式的性质 1,正确. D、符合等式的性质 1,正确.故选 A.
小结:本题主要考查等式的基本性质.在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立,这里的数或字母没有条件限制,但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时,这里的数或字母必须不为 0.
问题 7、利用等式的性质解方程
例 8、用等式的性质解下列方程:
( 1) 4 x+ 7= 3;
( 2) x - x= 4.
分析:( 1)在等式的两边都加或都减 7,再在等式的两边都除以 4,可得答案;
( 2)在等式的两边都乘以 6,在合并同类项,可得答案.
解:( 1)方程两边都减 7,得 4 x= -4.
方程两边都除以 4,得 x= -1.
( 2)方程两边都乘以 6,得 3 x -2 x= 24, x= 24.
问题 9、利用合并同类项解简单的一元一次方程
例 9、解下列方程:
( 1) 9 x- 5 x= 8;
( 2) 4 x- 6 x- x= 15.
分析:先将方程左边的同类项合并,再把未知数的系数化为 1.
解:( 1)合并同类项,得 4 x= 8.
系数化为 1,得 x= 2.
( 2)合并同类项,得- 3 x= 15.
系数化为 1,得 x=- 5.
小结:解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为 x= a的形式.
问题 10、根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题
例 10、足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为 3∶ 5,一个足球表面一共有 32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个?
分析:遇到比例问题时可设其中的每一份为 x,本题中已知黑、白皮块数目比为 3∶ 5,可设黑色皮块有 3 x个,则白色皮块有 5 x个,然后利用相等关系“黑色皮块数+白色皮块数= 32”列方程.
解:设黑色皮块有 3 x个,则白色皮块有 5 x个,
根据题意列方程 3 x+ 5 x= 32,
解得 x= 4,
则黑色皮块有 3 x= 12(个),
白色皮块有 5 x= 20(个).
答:黑色皮块有 12个,白色皮块有 20个.
小结:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的数量关系,列出方程,再求解.此题的关键是要知道相等关系为:黑色皮块数+白色皮块数= 32,并能用 x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来.
问题 11、利用去括号解一元一次方程
例 11、解下列方程:
( 1) 4 x- 3( 5- x)= 6;
( 2) 5( x+ 8)- 5= 6( 2 x- 7).
分析:先去括号,再移项,合并同类项,系数化为 1即可求得答案.
解:( 1)去括号得 4 x- 15+ 3 x= 6,
移项合并同类项得 7 x= 21,
系数化为 1得 x= 3;
( 2)去括号得 5 x+ 40- 5= 12 x- 42,
移项、合并得- 7 x=- 77,
系数化为 1得 x= 11.
小结:解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.在具体解方程时,不论进行到哪一步,只要得出方程的解,下面的步骤就不用再进行了.
例 12、已知关于 x的方程 3 a- x=+ 3的解为 2,求代数式(- a) 2- 2 a+ 1的值.
解析:此题可将 x= 2代入方程,得出关于 a的一元一次方程,解方程即可求出 a的值,再把 a的值代入所求代数式计算即可.
解:∵ x= 2是方程 3 a- x=+ 3的解,
∴ 3 a- 2= 1+ 3,
解得 a= 2,
∴原式= a 2- 2 a+ 1= 2 2- 2× 2+ 1= 1.
小结:此题考查方程解的意义及代数式的求值.将未知数 x的值代入方程,求出 a的值,然后将 a的值代入整式即可解决此类问题.