问题 1:青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段的行驶速度是 100 km/ h. 列车在冻土地段行驶时,根据已知数据求出列车行驶的路程.
( 1) 2 h行驶的路程是多少? 3 h呢? t h呢?
( 2)字母 t表示时间有什么意义?如果用 v表示速度,列车行驶的路程是多少?
问题 1的答案:( 1) 100× 2= 200, 100× 3= 300, 100× t= 100 t.
( 2) vt.
问题 2:怎样分析数量关系并用含有字母的式子表示数量关系呢?
( 1)苹果原价为每千克 p元,按 8折优惠出售,用式子表示现价;
( 2)某产品前年的产量是 n件,去年的产量是前年产量的 m倍,用式子表示去年的产量;
( 3)一个长方体包装盒的长和宽都是 a cm,高是 h cm,用式子表示它的体积;
( 4)用式子表示数 n的相反数.
问题 2的答案:( 1)现价是每千克 0.8 p元;
( 2)去年的产量是 mn件;
( 3)长方体包装盒的体积是 a· a· h cm 3,即 a 2 h cm 3;
( 4)数 n的相反数是- n.
典型例题:
例 1、一条河的水流速度为 2.5 km/ h,船在静水中的速度为 v km/ h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
( 2)买一个篮球需要 x元,买一个排球需要 y元,买一个足球需要 z元,用式子表示买 3个篮球、 5个排球、 2个足球共需要的钱数;
( 3)如图(图中长度单位: cm),用式子表示三角尺的面积;
( 4)图 2.1 -2(图中长度单位: m)是一所住宅的建筑平面图,用式子表示这所住宅的建筑面积.
答案:( 1)顺水行驶和逆水行驶时的速度分别是( v+ 2.5) km/ h,( v- 2.5) km/ h;
( 2)买 3篮球、 5个排球、 2个足球共需要( 3 x+ 5 y+ 2 z)元;
( 3)三角尺的面积(单位: cm 2)为- r 2;
( 4)这所住宅的建筑面积(单位: m 2)为 x 2+ 2 x+ 18.
温馨提示: 1、列式就是把实际问题中与数量有关的语句,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,也就是把文字语言转化为符号语言.①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之间的关系,如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等;②理清语句层次,明确运算顺序;③牢记一些概念和公式.
2、书写格式:①数与字母、字母与字母相乘省略乘号;②数与字母相乘时数字在前;③式子中出现除法运算时,一般按分数形式来写;④带分数与字母相乘时,把带分数化成假分数;⑤带单位时,适当加括号.
例 2、( 1)观察下列各式: x, 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4,…,按此规律,第 n个式子是;
( 2)测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高 100 cm),根据表格思考下面的问题:
前四年的变化与年数有什么关系?假设以后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系,用式子表示生长了 n年的树苗的高度;
( 3)礼堂第 1排有 20个座位,后面每排都比前一排多一个座位,用式子表示第 n排的座位数.
分析:对于( 1),能轻松解决;
对于( 2),年数是 1时,树苗高度(单位: cm)是 100+ 5× 1;
年数是 2时,树苗高度(单位: cm)是 100+ 5× 2;
年数是 3时,树苗高度(单位: cm)是 100+ 5× 3;
年数是 4时,树苗高度(单位: cm)是 100+ 5× 4;
……
数量关系:树苗的高度(单位: cm)= 100+ 5×年数;
年数是 n时,树苗高度(单位: cm)是 100+ 5× n= 100+ 5 n.
对于( 3)可以参考( 2)的方法尝试列表:
小结:用整式表示实际问题中的数量关系和变化规律,可以从特殊值入
手,借助表格分析,由特殊到一般,由个体到整体地观察、分析问题,发现规律,并用含有字母的式子表示一般的结论。
问题 3:观察式子 100 t, 0.8 p, mn, a 2 b,- n,这些式子有什么特点?
问题 3的答案:表示数或字母的积的式子叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
例 4、下列各式中哪些是单项式?
x, 0, 2,,, 0.72 a, a+ 1,.
答案: x, 0, 2,, 0.72 a,.
变式练习:
1、
答案:
2、下列说法错误的是().
A.数 0是单项式 B.单项式 a的系数和次数都是 1
C.单项式-的系数是- D. 2 3 x 2 y是六次单项式
答案: D
问题 4:观察式子 v+ 2.5,- v- 2.5, 3 x+ 5 y+ 2 z, ab- r 2, x 2+ 2 x+ 18.
它们有什么共同特点?与单项式有什么联系?
问题 4的答案:( 1)几个单项式的和叫做多项式,其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.( 2)多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.( 3)单项式与多项式统称整式.
例 5、下列整式中哪些是单项式?哪些是多项式?是单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数.
-,, x 2+ y 2- 1, x, 32 t 3,, 3 x 2- y+ 3 xy 3+ x 4- 1, 2 x- y.
例 5的答案:
单项式:-,, x, 32 t 3,;系数分别是:-,, 1, 32,;
次数分别为: 3, 6, 1, 3, 0.
多项式: x 2+ y 2- 1, 3 x 2- y+ 3 xy 3+ x 4- 1, 2 x- y;项分别是: 3, 5, 2;次数分别是: 2, 4, 1.
变式练习:
1.下列整式中,多项式有()个.
,- 2 x+ y 2,- 2 xy 2,, a 3, 3 x+ y 2- 1, 3 x,.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案: B
2.多项式 xy 2+ xy- 1的次数及常数项分别是().
A. 2, 1 B. 2,- 1 C. 3,- 1 D. 5,- 1
答案: C.
3.下列说法不正确的是().
A. a 2- 2 ab+ b 2是二次三项式 B. 4 a 5- 2 a 3+ 1是五次三项式
C. x 2- y 2是二次二项式 D. x- 2 x 2 y 2+ 5 xy- 3是二次四项式
答案: D.
4.请你写出一个三次四项式,并使它的三次项系数是- 2,常数项是- 6,那么这个多项式可以是(写出一个即可).
答案:不唯一例如: -2 a 3 - a 2+ a -6