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∵四边形 ABEF为菱形，∴ BF与 AE互相垂直平分，∠ BAE＝∠ FAE．

∴ OA＝ AE＝．∵菱形 ABEF的周长为 16，∴ AF＝ 4．

∴ cos∠ OAF＝＝．∴∠ OAF＝ 30°，∴∠ BAF＝ 60°．

∵四边形 ABCD为平行四边形，∴∠ C＝∠ BAD＝ 60°．

考点 2折叠问题

例 2、一张矩形纸片，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（ ）

A．

B．

C．

D．

分析：因为 AB= 3, AD= 2

所以 DA’= 2, CA’= 1

所以 DC’= 1

因为∠ D= 45°，所以 DG= DC’=.

答案： A.

变式练习：

1. 如图，将矩形 ABCD沿 GH对折，点 C落在 Q处，点 D落在 AB边上的 E处， EQ与 BC相交于点 F．若 AD＝ 8， AB＝ 6， AE＝ 4，则△ EBF周长的大小为___________．

答案：

由折叠的性质可得 HD= EH，设 AH= x，则 DH= EH= 8 - x.

在 Rt△ AEH中，根据勾股定理可得：

，解得 x= 3,即 AH= 3， EH= 5；

易得△ AEH∽△ BFE，

所以 AH: BE= AE: BF= EH: EF,

BF=, EF=.

所以△ EBF的周长为 8.

2、将正方形 ABCD折叠，使顶点 A与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（ ）

A．

B．

C．

D．随点位置的变化而变化

分析：设正方形 ABCD的边长为 2 a，正方形的周长为 m= 8 a，

设 CM= x， DE= y，则 DM= 2 a-x， EM= 2 a-y，

∵∠ EMG= 90°，

∴∠ DME+∠ CMG= 90°．

∵∠ DME+∠ DEM= 90°，

∴∠ DEM=∠ CMG，

又∵∠ D=∠ C= 90°△ DEM∽△ CMG，

∴,即

∴ CG=

△ CMG的周长为 CM+ CG+ MG=

在 Rt△ DEM中， DM ²+ DE ²= EM ²

即（ 2 a-x） ²+ y ²=（ 2 a-y） ²

整理得 4 ax-x ²= 4 ay

∴ CM+ MG+ CG== n．

所以

故选： B．

考点 3旋转与找规律

例 3、如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是

分析：如图，过点 C作 MN BG，分别交 BG、 EF于点 M、 N，根据旋转的旋转可得 AB= BG= EF= CD= 5， AD= GF= 3，在 Rt△ BCG中，根据勾股定理求得 CG= 4，再由,即可求得 CM=,在 Rt△ BCM中，根据勾股定理求得 BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形 BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得 BE= MN= 3, BM= EN=,所以 CN= MN-CM= 3 -=,在 Rt△ ECN中，根据勾股定理求得 EC=.

答案：.

变式练习：

1.如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．

分析：∵△ OBA ₁为等腰直角三角形， OB= 1，

∴ AA ₁= OA= 1， OA ₁= OB=；

∵△ OA ₁ A ₂为等腰直角三角形，

∴ A ₁ A ₂= OA ₁=， OA ₂= OA ₁= 2；

∵△ OA ₂ A ₃为等腰直角三角形，

∴ A ₂ A ₃= OA ₂= 2， OA ₃= OA ₂= 2；

∵△ OA ₃ A ₄为等腰直角三角形，

∴ A ₃ A ₄= OA ₃= 2， OA ₄= OA ₃= 4．

∵△ OA ₄ A ₅为等腰直角三角形，

∴ A ₄ A ₅= OA ₄= 4， OA ₅= OA ₄= 4，

∵△ OA ₅ A ₆为等腰直角三角形，

∴ A ₅ A ₆= OA ₅= 4， OA ₆= OA ₅= 8．

∴ OA _n的长度为．

答案：．