1.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题解此类题的关键是根据题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x的取值范围.

2.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论

3.构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题

4.一般步骤：

（ 1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

（ 2）确定自变量的取值范围；

（ 3）分析所得的函数性质；

（ 4）解决提出问题

此题主要以 B卷大题的形式考查方程、不等式、二次函数的相关知识，一般为中等难度及以上题目，所占分值较大，一般为 8分，从近五年的中考题目来看，要求学生掌握方程、不等式、二次函数最值问题的一般求法，并涉及分类讨论思想的应用，计算难度较大.

考点 1利用二次函数解决实际问题

例 1、荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为 6元，在整个销售旺季的 80天里，销售单价 p（元/千克）与时间第 t（天）之间的函数关系为： p＝日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示.

（ 1）求日销售量 y与时间 t的函数关系式；

（ 2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

（ 3）该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400元？

（ 4）在实际销售的前 40天中，该养殖户决定每销售 1千克小龙虾，就捐赠 m（ m＜ 7）元给村里的特困户.在这前 40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t的增大而增大，求 m的取值范围.

（ 1）设解析式为 y＝ kt＋ b，

将（ 1， 198），（ 80， 40）代入，得

，解得

∴ y＝－ 2 t＋ 200（ 1≤ t≤ 80， t为整数）.

（ 2）设日销售利润为 w，则 w＝（ p－ 6） y，

①当 1≤ t≤ 40时， w＝（－ 2 t＋ 200）＝－（ t－ 30）²＋ 2450，

∴当 t＝ 30时， w_最大＝ 2450；

②当 41≤ t≤ 80时， w＝（－ 2 t＋ 200）＝（ t－ 90）²－ 100，

∴当 t＝ 41时， w_最大＝ 2301.

∵ 2450＞ 2301，∴第 30天的日销售利润最大，最大利润为 2450元.

（ 3）由（ 2）得，当 1≤ t≤ 40时，

w＝－（ t－ 30）²＋ 2450，

令 w＝ 2400，即－（ t－ 30）²＋ 2450＝ 2400，

解得 t₁＝ 20， t₂＝ 40.

函数 w＝－（ t－ 30）²＋ 2450图象如答案图，当 20≤ t≤ 40时，日销售利润不低于 2400元，

而当 41≤ t≤ 80时， w_最大＝ 2301＜ 2400，

∴ t的取值范围是 20≤ t≤ 40.

∴共有 21天符合条件.

（ 4）设日销售利润为 w，根据题意，得

w＝（－ 2 t＋ 200）＝－ t²＋（ 30＋ 2 m） t＋ 2000－ 200 m，

其函数图象的对称轴为 t＝ 2 m＋ 30.

∵ w随 t的增大而增大，且 1≤ t≤ 40，

∴由二次函数的图象及其性质可知 2 m＋ 30≥ 40，解得 m≥ 5.

又 m＜ 7，∴ 5≤ m＜ 7.

例 2、随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A， B， C， D， E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 x(单位：千米)，乘坐地铁的时间 y₁(单位：分钟)是关于 x的一次函数，其关系如下表：

( 1)求 y₁关于 x的函数表达式；

( 2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受 x的影响，其关系可以用 y₂＝ x²－ 11 x＋ 78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．

分析：任取表中两组对应值，用待定系数法求一次函数的解析式；( 2)根据题意将两个函数解析式相加，得二次函数解析式，利用二次函数图象的性质求最小值即可。

解：( 1)设 y₁＝ kx＋ b，将( 8， 18)，( 9， 20)代入，

得

，解得

∴ y₁关于 x的函数表达式为 y₁＝ 2 x＋ 2.

( 2)设李华从文化宫回到家所需的时间为 y，则

y＝ y₁＋ y₂＝ 2 x＋ 2＋ x²－ 11 x＋ 78＝ x²－ 9 x＋ 80＝( x－ 9)²＋.

当 x＝ 9时， y有最小值 39.5.

故李华应选择在地铁站 B出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为 39.5分

变式练习：

1、某果园有 100棵橙子树，平均每棵树结 600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结 5个橙子，假设果园多种 x棵橙子树．

( 1)直接写出平均每棵树结的橙子数 y(个)与 x之间的关系式；

( 2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？

分析：据每多种一棵树平均每棵树就会少结 5个橙子，求出函数关系式；( 2)根据总产量＝橙子树棵数×每棵树所结的橙子量，列出二次函数解析式求得最大值．

解：( 1) y＝ 600－ 5 x.

( 2)设果园多种 x棵橙子树时，橙子的总产量为 z个．由题意，得

z＝( 100＋ x) y＝( 100＋ x)( 600－ 5 x)＝－ 5( x－ 10)²＋ 60500.

∵ a＝－ 5＜ 0，∴当 x＝ 10时， z_最大值＝ 60500.

∴果园多种 10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为 60500个．

变式练习

2、某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2倍，但单价贵了 10元．

( 1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？

( 2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于 25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？

解：

( 1)设该商家购进的第一批衬衫是 x件，则第二批衬衫是 2 x件，

由题意可得：

解得 x＝ 120.经检验， x＝ 120是原方程的根．故商家购进的第一批衬衫是 120件．

( 2)设每件衬衫的标价至少是 a元，

由( 1)得第一批衬衫的进价为 13200÷ 120＝ 110(元/件)，

第二批衬衫的进价为 120元/件，

由题意可得 120×( a－ 110)＋( 240－ 50)×( a－ 120)＋ 50×( 0.8 a－ 120)≥ 25%×( 28800＋ ANOAHDIGITAL 10)，解得 a≥ ANOAHDIGITAL 11.即每件衬衫的标价至少是 ANOAHDIGITAL 12元.

考点 2二次函数在几何中的应用

例 3、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB， BC两边)，

设 AB＝ xm．

( 1)若花园的面积为 192 m²，求 x的值；

( 2)若在 P处有一棵树与墙 CD， AD的距离分别是 15 m和 6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S的最大值．

解：( 1)根据题意，得( 28－ x) x＝ 192，

解得 x＝ 12或 x＝ 16.

( 2)根据题意，得 BC≥ 15， AB≥ 6.

∴

解（ 1），得 x≤ 13.故 6≤ x≤ 13.

S＝( 28－ x) x＝－( x－ 14)²＋ 196.∵ 6≤ x≤ 13，

∴当 x＝ 13时，面积最大为 195 m^2.

变式练习：

3、某物体从点 P运动到点 Q所用时间为 7秒，其运动速度 v(米/秒)关于时间 t(秒)的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前进 3秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前 t( 3＜ t≤ 7)秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB的面积与梯形 BDNM的面积之和．